論文の概要: Computational Dynamical Systems

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2409.12179v1
• Date: Wed, 18 Sep 2024 17:51:48 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-09-19 16:21:44.886315
• Title: Computational Dynamical Systems
• Title（参考訳）: 計算力学系
• Authors: Jordan Cotler, Semon Rezchikov,
• Abstract要約: チューリングマシンをシミュレートするスムーズな力学系について、その意味について定義を与える。 カオス的」力学系と「可積分」力学系は普遍チューリングマシンを強くシミュレートできないことを示す。 より広範に、我々の研究は「機械」が他の機械をシミュレートする意味を解明し、低複雑さの「エンコーダ」と「デコーダ」を定義する必要性を強調している。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.6138671548064356
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We study the computational complexity theory of smooth, finite-dimensional dynamical systems. Building off of previous work, we give definitions for what it means for a smooth dynamical system to simulate a Turing machine. We then show that 'chaotic' dynamical systems (more precisely, Axiom A systems) and 'integrable' dynamical systems (more generally, measure-preserving systems) cannot robustly simulate universal Turing machines, although such machines can be robustly simulated by other kinds of dynamical systems. Subsequently, we show that any Turing machine that can be encoded into a structurally stable one-dimensional dynamical system must have a decidable halting problem, and moreover an explicit time complexity bound in instances where it does halt. More broadly, our work elucidates what it means for one 'machine' to simulate another, and emphasizes the necessity of defining low-complexity 'encoders' and 'decoders' to translate between the dynamics of the simulation and the system being simulated. We highlight how the notion of a computational dynamical system leads to questions at the intersection of computational complexity theory, dynamical systems theory, and real algebraic geometry.
• Abstract（参考訳）: 滑らかな有限次元力学系の計算複雑性理論について検討する。 これまでの研究を基に、チューリングマシンをシミュレートするスムーズな力学系について、その意味について定義する。 次に、「カオス」力学系(より正確には Axiom A 系)と「可積分」力学系(より一般的には測度保存系)は普遍チューリングマシンを頑健にシミュレートすることはできないが、そのような機械は他の種類の力学系によって頑健にシミュレートできることを示した。 その後、構造的に安定な1次元力学系に符号化できるチューリングマシンは、決定可能な停止問題を持ち、その上、停止するインスタンスに有界な明示的な時間複雑性を持つことが示される。 より広義に、我々の研究は、ある「機械」が別の「機械」をシミュレートする意味を解明し、シミュレーションのダイナミクスとシミュレートされるシステムのダイナミクスを翻訳するために、低複雑さの「エンコーダ」と「デコーダ」を定義する必要性を強調している。 計算力学系の概念が、計算複雑性理論、力学系理論、および実代数幾何学の交点における疑問にどのように結びつくかを強調する。

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