論文の概要: Simultaneously Solving FBSDEs and their Associated Semilinear Elliptic PDEs with Small Neural Operators

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2410.14788v2
• Date: Wed, 28 May 2025 14:24:03 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-05-29 15:04:26.73815
• Title: Simultaneously Solving FBSDEs and their Associated Semilinear Elliptic PDEs with Small Neural Operators
• Title（参考訳）: 小型ニューラル演算子を用いたFBSDEとその関連半線形楕円型PDEの同時解法
• Authors: Takashi Furuya, Anastasis Kratsios,
• Abstract要約: 前向きの微分方程式は、最適制御、ゲーム理論、経済学、数学ファイナンス、強化学習において重要な役割を果たす。 利用可能なFBSDEソルバは、textitindividual FBSDEsで動作しており、FBSDEの大規模なファミリーを解決するための計算可能な戦略を提供することはできない。 textitNeural演算子(NOs)は、分離されたFBSDEの大規模なファミリーをテキスト同期で解決するための代替アプローチを提供する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 8.517406772939292
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Forward-backwards stochastic differential equations (FBSDEs) play an important role in optimal control, game theory, economics, mathematical finance, and in reinforcement learning. Unfortunately, the available FBSDE solvers operate on \textit{individual} FBSDEs, meaning that they cannot provide a computationally feasible strategy for solving large families of FBSDEs, as these solvers must be re-run several times. \textit{Neural operators} (NOs) offer an alternative approach for \textit{simultaneously solving} large families of decoupled FBSDEs by directly approximating the solution operator mapping \textit{inputs:} terminal conditions and dynamics of the backwards process to \textit{outputs:} solutions to the associated FBSDE. Though universal approximation theorems (UATs) guarantee the existence of such NOs, these NOs are unrealistically large. Upon making only a few simple theoretically-guided tweaks to the standard convolutional NO build, we confirm that ``small'' NOs can uniformly approximate the solution operator to structured families of FBSDEs with random terminal time, uniformly on suitable compact sets determined by Sobolev norms using a logarithmic depth, a constant width, and a polynomial rank in the reciprocal approximation error. This result is rooted in our second result, and main contribution to the NOs for PDE literature, showing that our convolutional NOs of similar depth and width but grow only \textit{quadratically} (at a dimension-free rate) when uniformly approximating the solution operator of the associated class of semilinear Elliptic PDEs to these families of FBSDEs. A key insight into how NOs work we uncover is that the convolutional layers of our NO can approximately implement the fixed point iteration used to prove the existence of a unique solution to these semilinear Elliptic PDEs.
• Abstract（参考訳）: 前方後方確率微分方程式(FBSDEs)は、最適制御、ゲーム理論、経済学、数学ファイナンス、強化学習において重要な役割を果たす。 残念なことに、利用可能な FBSDE ソルバは \textit{individual} FBSDEs で動作している。 \textit{Neural operator} (NOs) は、解作用素の直接近似により、分離された FBSDE の大きな族である \textit{inputs:} に対して、後方プロセスの端末条件と力学を、関連する FBSDE への解に変換することで、代替的なアプローチを提供する。 普遍近似定理(UAT)はそのようなNOの存在を保証するが、これらのNOは非現実的に大きい。 標準的な畳み込みNO構築に対して、数個の簡単な理論的な手直しを行うと、 ``small'' NOs は、対数深さ、定数幅、および逆近似誤差の多項式ランクを用いてソボレフノルムによって決定される適切なコンパクト集合に対して、ランダム終端時間を持つ FBSDEs の構造された族に対する解作用素を均一に近似できることを確認した。 この結果は、FBSDEs のこれらの族に対する半線形楕円型 PDE の解作用素を均一に近似する際に、我々の畳み込み NOs が類似の深さと幅を持つが、(次元自由率で) \textit{quadratically} だけ成長することを示す。 NOの動作に関する重要な洞察は、NOの畳み込み層が、これらの半線形楕円型PDEに対するユニークなソリューションの存在を証明するために使われる固定点反復を概ね実装できるということです。

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