論文の概要: Physics-informed Neural Networks for Functional Differential Equations: Cylindrical Approximation and Its Convergence Guarantees
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2410.18153v1
- Date: Wed, 23 Oct 2024 06:16:35 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2024-10-25 12:50:35.474188
- Title: Physics-informed Neural Networks for Functional Differential Equations: Cylindrical Approximation and Its Convergence Guarantees
- Title（参考訳）: 関数微分方程式のための物理インフォームドニューラルネットワーク:円筒近似とその収束保証
- Authors: Taiki Miyagawa, Takeru Yokota,
- Abstract要約: 関数微分方程式(FDE)の第一学習法を提案する。
FDEは物理学、数学、最適制御において基本的な役割を果たす。
FDEの数値近似が開発されたが、しばしば解を単純化する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 7.366405857677226
- License:
- Abstract: We propose the first learning scheme for functional differential equations (FDEs). FDEs play a fundamental role in physics, mathematics, and optimal control. However, the numerical analysis of FDEs has faced challenges due to its unrealistic computational costs and has been a long standing problem over decades. Thus, numerical approximations of FDEs have been developed, but they often oversimplify the solutions. To tackle these two issues, we propose a hybrid approach combining physics-informed neural networks (PINNs) with the \textit{cylindrical approximation}. The cylindrical approximation expands functions and functional derivatives with an orthonormal basis and transforms FDEs into high-dimensional PDEs. To validate the reliability of the cylindrical approximation for FDE applications, we prove the convergence theorems of approximated functional derivatives and solutions. Then, the derived high-dimensional PDEs are numerically solved with PINNs. Through the capabilities of PINNs, our approach can handle a broader class of functional derivatives more efficiently than conventional discretization-based methods, improving the scalability of the cylindrical approximation. As a proof of concept, we conduct experiments on two FDEs and demonstrate that our model can successfully achieve typical $L^1$ relative error orders of PINNs $\sim 10^{-3}$. Overall, our work provides a strong backbone for physicists, mathematicians, and machine learning experts to analyze previously challenging FDEs, thereby democratizing their numerical analysis, which has received limited attention. Code is available at \url{https://github.com/TaikiMiyagawa/FunctionalPINN}.
- Abstract（参考訳）: 関数微分方程式 (FDE) に対する最初の学習手法を提案する。
FDEは物理学、数学、最適制御において基本的な役割を果たす。
しかし、FDEの数値解析は非現実的な計算コストのために問題に直面しており、何十年も前から悩まされてきた。
したがって、FDEの数値近似が開発されているが、それらはしばしば解を単純化する。
これら2つの問題に対処するために,物理インフォームドニューラルネットワーク (PINN) と \textit{cylindrical approximation} を組み合わせたハイブリッドアプローチを提案する。
円筒近似は関数と関数微分を正規直交基底で拡張し、FDEを高次元PDEに変換する。
FDE応用のための円筒近似の信頼性を検証するため、近似関数微分と解の収束定理を証明した。
そして、導出した高次元PDEをPINNで数値解する。
PINNの能力により,従来の離散化法よりも関数微分のより広いクラスを効率的に扱えるようになり,円筒近似のスケーラビリティが向上する。
概念実証として、2つのFDEに対して実験を行い、我々のモデルがPINNs$\sim 10^{-3}$の典型的な$L^1$相対誤差オーダーを達成できることを実証する。
全体として、我々の研究は、物理学者、数学者、機械学習の専門家が以前に挑戦したFDEを分析して数値分析を民主化する強力なバックボーンを提供する。
コードは \url{https://github.com/Taiki Miygawa/FunctionalPINN} で公開されている。
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