論文の概要: A Mathematical Analysis of Neural Operator Behaviors

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2410.21481v1
• Date: Mon, 28 Oct 2024 19:38:53 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2024-10-30 13:38:49.760893
• Title: A Mathematical Analysis of Neural Operator Behaviors
• Title（参考訳）: ニューラル演算子の挙動の数学的解析
• Authors: Vu-Anh Le, Mehmet Dik,
• Abstract要約: 本稿では,ニューラルネットワークの動作を分析するための厳密な枠組みを提案する。 我々はそれらの安定性、収束性、クラスタリングダイナミクス、普遍性、一般化誤差に焦点を当てる。 我々は,ニューラル演算子に基づく手法の今後の設計のために,単一設定で明確かつ統一的なガイダンスを提供することを目指している。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License:
• Abstract: Neural operators have emerged as transformative tools for learning mappings between infinite-dimensional function spaces, offering useful applications in solving complex partial differential equations (PDEs). This paper presents a rigorous mathematical framework for analyzing the behaviors of neural operators, with a focus on their stability, convergence, clustering dynamics, universality, and generalization error. By proposing a list of novel theorems, we provide stability bounds in Sobolev spaces and demonstrate clustering in function space via gradient flow interpretation, guiding neural operator design and optimization. Based on these theoretical gurantees, we aim to offer clear and unified guidance in a single setting for the future design of neural operator-based methods.
• Abstract（参考訳）: ニューラルネットワークは無限次元関数空間間の写像を学習するための変換ツールとして登場し、複素偏微分方程式(PDE)の解法として有用である。 本稿では,ニューラルネットワークの安定性,収束性,クラスタリングダイナミクス,普遍性,一般化誤差に着目し,ニューラルネットワークの挙動を解析するための厳密な数学的枠組みを提案する。 新たな定理のリストを提案することにより、ソボレフ空間の安定性境界を提供し、勾配流の解釈、ニューラル作用素の設計と最適化を導くことによって関数空間のクラスタリングを実証する。 これらの理論的ガイドに基づいて,ニューラル演算子に基づく手法の今後の設計のために,単一設定で明確かつ統一的なガイダンスを提供することを目標としている。

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