論文の概要: Kernel Methods for the Approximation of the Eigenfunctions of the Koopman Operator

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2412.16588v1
• Date: Sat, 21 Dec 2024 11:25:51 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2024-12-24 15:56:47.434004
• Title: Kernel Methods for the Approximation of the Eigenfunctions of the Koopman Operator
• Title（参考訳）: クープマン作用素の固有関数近似のためのカーネル法
• Authors: Jonghyeon Lee, Boumediene Hamzi, Boya Hou, Houman Owhadi, Gabriele Santin, Umesh Vaidya,
• Abstract要約: 演算子自体を明示的に計算することなく、クープマン演算子の主固有関数を構成するカーネルベースの方法を提案する。 主固有関数の構造を線形成分と非線形成分に分解する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.7702475609045947
• License:
• Abstract: The Koopman operator provides a linear framework to study nonlinear dynamical systems. Its spectra offer valuable insights into system dynamics, but the operator can exhibit both discrete and continuous spectra, complicating direct computations. In this paper, we introduce a kernel-based method to construct the principal eigenfunctions of the Koopman operator without explicitly computing the operator itself. These principal eigenfunctions are associated with the equilibrium dynamics, and their eigenvalues match those of the linearization of the nonlinear system at the equilibrium point. We exploit the structure of the principal eigenfunctions by decomposing them into linear and nonlinear components. The linear part corresponds to the left eigenvector of the system's linearization at the equilibrium, while the nonlinear part is obtained by solving a partial differential equation (PDE) using kernel methods. Our approach avoids common issues such as spectral pollution and spurious eigenvalues, which can arise in previous methods. We demonstrate the effectiveness of our algorithm through numerical examples.
• Abstract（参考訳）: クープマン作用素は非線形力学系を研究する線形フレームワークを提供する。 そのスペクトルはシステム力学の貴重な洞察を与えるが、演算子は離散スペクトルと連続スペクトルの両方を示し、直接計算を複雑にする。 本論文では、演算子自体を明示的に計算することなく、クープマン演算子の主固有関数を構成するカーネルベースの手法を提案する。 これらの主固有関数は平衡力学と関連付けられ、それらの固有値は平衡点における非線形系の線型化の値と一致する。 主固有関数の構造を線形成分と非線形成分に分解する。 線形部は平衡における系の線形化の左固有ベクトルに対応し、非線形部はカーネル法を用いて偏微分方程式(PDE)を解くことによって得られる。 提案手法は, 従来手法で発生したスペクトル汚染や突発的固有値などの一般的な問題を回避する。 数値的な例を通して,本アルゴリズムの有効性を実証する。

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