論文の概要: Metric properties of partial and robust Gromov-Wasserstein distances
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2411.02198v1
- Date: Mon, 04 Nov 2024 15:53:45 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2024-11-05 21:27:21.436119
- Title: Metric properties of partial and robust Gromov-Wasserstein distances
- Title（参考訳）: 部分的およびロバストなGromov-Wasserstein距離の計量的性質
- Authors: Jannatul Chhoa, Michael Ivanitskiy, Fushuai Jiang, Shiying Li, Daniel McBride, Tom Needham, Kaiying O'Hare,
- Abstract要約: グロモフ=ワッサーシュタイン距離(Gromov-Wasserstein distance, GW)は、最適な輸送のアイデアに基づいて、メトリクスの族を定義する。
GW距離は本質的に外れ音に敏感であり、部分的マッチングに対応できない。
我々の新しい距離は真の測度を定義し、それらがGW距離と同じ位相を誘導し、摂動にさらなる堅牢性をもたらすことを示す。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 3.9485589956945204
- License:
- Abstract: The Gromov-Wasserstein (GW) distances define a family of metrics, based on ideas from optimal transport, which enable comparisons between probability measures defined on distinct metric spaces. They are particularly useful in areas such as network analysis and geometry processing, as computation of a GW distance involves solving for registration between the objects which minimizes geometric distortion. Although GW distances have proven useful for various applications in the recent machine learning literature, it has been observed that they are inherently sensitive to outlier noise and cannot accommodate partial matching. This has been addressed by various constructions building on the GW framework; in this article, we focus specifically on a natural relaxation of the GW optimization problem, introduced by Chapel et al., which is aimed at addressing exactly these shortcomings. Our goal is to understand the theoretical properties of this relaxed optimization problem, from the viewpoint of metric geometry. While the relaxed problem fails to induce a metric, we derive precise characterizations of how it fails the axioms of non-degeneracy and triangle inequality. These observations lead us to define a novel family of distances, whose construction is inspired by the Prokhorov and Ky Fan distances, as well as by the recent work of Raghvendra et al.\ on robust versions of classical Wasserstein distance. We show that our new distances define true metrics, that they induce the same topology as the GW distances, and that they enjoy additional robustness to perturbations. These results provide a mathematically rigorous basis for using our robust partial GW distances in applications where outliers and partial matching are concerns.
- Abstract（参考訳）: グロモフ=ワッサーシュタイン距離(Gromov-Wasserstein distances, GW)は、異なる距離空間上で定義された確率測度の比較を可能にする最適輸送の概念に基づいて、メトリクスの族を定義する。
ネットワーク解析や幾何処理などの分野では特に有用であり、GW距離の計算は幾何歪みを最小限に抑える物体間の登録を解く。
GW距離は、近年の機械学習文学において様々な用途に有用であることが証明されているが、それらは本質的に外れ音に敏感であり、部分的マッチングを許容できないことが観察されている。
本稿では,これらの欠点を正確に解決することを目的としたChapelらによって導入されたGW最適化問題の自然緩和に焦点を当てる。
我々の目標は、この緩和された最適化問題の理論的性質を計量幾何学の観点から理解することである。
緩和された問題は計量を導き出すのに失敗するが、非退化と三角形の不等式の公理をいかに失敗させるかという正確な特徴を導出する。
これらの観察により、プロホロフとカイファンの距離に触発された新しい距離の族を定義することができ、また古典的なワッサーシュタイン距離の頑健なバージョンに関するラグヴェンドラらによる最近の研究によってもたらされる。
我々の新しい距離は真の測度を定義し、それらがGW距離と同じ位相を誘導し、摂動にさらなる堅牢性をもたらすことを示す。
これらの結果は、外れ値と部分マッチングが問題となるアプリケーションにおいて、ロバストな部分GW距離を使用するための数学的に厳密な基礎を提供する。
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