論文の概要: A deformation-based framework for learning solution mappings of PDEs defined on varying domains

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2412.01379v1
• Date: Mon, 02 Dec 2024 11:07:01 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2024-12-04 15:40:53.758580
• Title: A deformation-based framework for learning solution mappings of PDEs defined on varying domains
• Title（参考訳）: 種々の領域上で定義されたPDEの解写像学習のための変形に基づくフレームワーク
• Authors: Shanshan Xiao, Pengzhan Jin, Yifa Tang,
• Abstract要約: 我々は、様々な領域で定義されたPDEの解写像を学習するための変形に基づくフレームワークを構築した。 このような計量とバナッハのマッピングはニューラルネットワークによって学習できるので、解のマッピングはそれに従って学習される。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 2.048226951354646
• License:
• Abstract: In this work, we establish a deformation-based framework for learning solution mappings of PDEs defined on varying domains. The union of functions defined on varying domains can be identified as a metric space according to the deformation, then the solution mapping is regarded as a continuous metric-to-metric mapping, and subsequently can be represented by another continuous metric-to-Banach mapping using two different strategies, referred to as the D2D framework and the D2E framework, respectively. We point out that such a metric-to-Banach mapping can be learned by neural networks, hence the solution mapping is accordingly learned. With this framework, a rigorous convergence analysis is built for the problem of learning solution mappings of PDEs on varying domains. As the theoretical framework holds based on several pivotal assumptions which need to be verified for a given specific problem, we study the star domains as a typical example, and other situations could be similarly verified. There are three important features of this framework: (1) The domains under consideration are not required to be diffeomorphic, therefore a wide range of regions can be covered by one model provided they are homeomorphic. (2) The deformation mapping is unnecessary to be continuous, thus it can be flexibly established via combining a primary identity mapping and a local deformation mapping. This capability facilitates the resolution of large systems where only local parts of the geometry undergo change. (3) If a linearity-preserving neural operator such as MIONet is adopted, this framework still preserves the linearity of the surrogate solution mapping on its source term for linear PDEs, thus it can be applied to the hybrid iterative method. We finally present several numerical experiments to validate our theoretical results.
• Abstract（参考訳）: 本研究では,様々なドメイン上で定義されたPDEの解写像を学習するための変形に基づくフレームワークを確立する。 様々な領域で定義される函数の和は、変形に応じて計量空間として特定することができ、解写像は連続計量-計量写像と見なされ、その後、それぞれD2DフレームワークとD2Eフレームワークと呼ばれる2つの異なる戦略を用いて別の連続計量-バナッハ写像で表される。 このような計量とバナッハのマッピングはニューラルネットワークによって学習できるので、解のマッピングはそれに従って学習される。 この枠組みにより、様々なドメイン上のPDEの解写像を学習する問題に対して厳密な収束解析が構築される。 理論的枠組みは、与えられた特定の問題に対して検証する必要があるいくつかの重要な仮定に基づいて成り立つので、スター領域を典型的な例として研究し、他の状況も同様に検証できる。 このフレームワークには3つの重要な特徴がある: 1) 検討中の領域は微分同相である必要はない。 2) 変形写像は連続する必要がないため, 一次恒等写像と局所変形写像を組み合わせることで柔軟に確立することができる。 この能力は、幾何学の局所的な部分しか変化しない大規模システムの解決を容易にする。 (3) MIONet のような線形性保存型ニューラル作用素が採用されている場合、このフレームワークは、線形 PDE の原項上の代理解写像の線型性を保持するため、ハイブリッド反復法に適用できる。 最終的に、理論的結果を検証するために、いくつかの数値実験を提示する。

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