論文の概要: High-Rank Irreducible Cartesian Tensor Decomposition and Bases of Equivariant Spaces

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2412.18263v2
• Date: Mon, 30 Dec 2024 18:07:15 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2024-12-31 12:42:32.811666
• Title: High-Rank Irreducible Cartesian Tensor Decomposition and Bases of Equivariant Spaces
• Title（参考訳）: 共変空間の高ランク非既約カルトテンソル分解と基底
• Authors: Shihao Shao, Yikang Li, Zhouchen Lin, Qinghua Cui,
• Abstract要約: 未知カルトテンソル(ICT)は、同変グラフニューラルネットワークの設計において重要な役割を果たす。 ICT分解とこの同変空間の基底は高次テンソルでは得られない。 この研究は、ICTの分解行列を、小さくて手頃な価格の複雑さで$n=9$まで初めて得る。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 47.83974626445763
• License:
• Abstract: Irreducible Cartesian tensors (ICTs) play a crucial role in the design of equivariant graph neural networks, as well as in theoretical chemistry and chemical physics. Meanwhile, the design space of available linear operations on tensors that preserve symmetry presents a significant challenge. The ICT decomposition and a basis of this equivariant space are difficult to obtain for high-order tensors. After decades of research, we recently achieve an explicit ICT decomposition for $n=5$ \citep{bonvicini2024irreducible} with factorial time/space complexity. This work, for the first time, obtains decomposition matrices for ICTs up to rank $n=9$ with reduced and affordable complexity, by constructing what we call path matrices. The path matrices are obtained via performing chain-like contraction with Clebsch-Gordan matrices following the parentage scheme. We prove and leverage that the concatenation of path matrices is an orthonormal change-of-basis matrix between the Cartesian tensor product space and the spherical direct sum spaces. Furthermore, we identify a complete orthogonal basis for the equivariant space, rather than a spanning set \citep{pearce2023brauer}, through this path matrices technique. We further extend our result to the arbitrary tensor product and direct sum spaces, enabling free design between different spaces while keeping symmetry. The Python code is available in https://github.com/ShihaoShao-GH/ICT-decomposition-and-equivariant-bases where the $n=6,\dots,9$ ICT decomposition matrices are obtained in 1s, 3s, 11s, and 4m32s, respectively.
• Abstract（参考訳）: 既約カルテシアンテンソル(ICT)は、等変グラフニューラルネットワークの設計や理論化学、化学物理学において重要な役割を果たす。 一方、対称性を保つテンソル上の可利用線型演算の設計空間は重要な課題である。 ICT分解とこの同変空間の基底は高次テンソルに対しては取得が難しい。 数十年にわたる研究の末、我々は最近、時間/空間の複雑さを要因として、$n=5$ \citep{bonvicini2024irreducible} の明示的なICT分解を実現した。 この研究は、初めて、私たちがパス行列と呼ぶものを構築することで、小さくて手頃な複雑さで、ICTの分解行列を$n=9$まで獲得する。 経路行列は、親和スキームに従ってクレブシュ・ゴルダン行列と鎖状収縮を行うことにより得られる。 我々は、経路行列の連結が、カルトテンソル積空間と球面直和空間の間の正則な基底行列であることを証明し、活用する。 さらに、この経路行列法により、スパニング集合 \citep{pearce2023brauer} ではなく、同変空間の完全な直交基底を同定する。 さらに、任意のテンソル積と直和空間に結果を拡張し、対称性を維持しながら異なる空間間の自由な設計を可能にする。 Pythonコードはhttps://github.com/ShihaoShao-GH/ICT-decomposition-and-equivariant-basesで利用可能で、$n=6,\dots,9$ ICT分解行列はそれぞれ1s, 3s, 11s, 4m32sである。

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