論文の概要: PDE-DKL: PDE-constrained deep kernel learning in high dimensionality

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2501.18258v1
• Date: Thu, 30 Jan 2025 10:39:52 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-01-31 15:15:50.036707
• Title: PDE-DKL: PDE-constrained deep kernel learning in high dimensionality
• Title（参考訳）: PDE-DKL:PDE制約による高次元深層カーネル学習
• Authors: Weihao Yan, Christoph Brune, Mengwu Guo,
• Abstract要約: PDEに基づく問題に対するPDE制約付きDeep Kernel Learning (PDE-DKL) フレームワークを提案する。 PDE-DKLはデータ要求を小さくすることで高い精度が得られることを示す。 彼らは、科学と工学における複雑なPDEベースのアプリケーションのための実用的で信頼性があり、スケーラブルな解決法としての可能性を強調している。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 2.1233286062376497
• License:
• Abstract: Many physics-informed machine learning methods for PDE-based problems rely on Gaussian processes (GPs) or neural networks (NNs). However, both face limitations when data are scarce and the dimensionality is high. Although GPs are known for their robust uncertainty quantification in low-dimensional settings, their computational complexity becomes prohibitive as the dimensionality increases. In contrast, while conventional NNs can accommodate high-dimensional input, they often require extensive training data and do not offer uncertainty quantification. To address these challenges, we propose a PDE-constrained Deep Kernel Learning (PDE-DKL) framework that combines DL and GPs under explicit PDE constraints. Specifically, NNs learn a low-dimensional latent representation of the high-dimensional PDE problem, reducing the complexity of the problem. GPs then perform kernel regression subject to the governing PDEs, ensuring accurate solutions and principled uncertainty quantification, even when available data are limited. This synergy unifies the strengths of both NNs and GPs, yielding high accuracy, robust uncertainty estimates, and computational efficiency for high-dimensional PDEs. Numerical experiments demonstrate that PDE-DKL achieves high accuracy with reduced data requirements. They highlight its potential as a practical, reliable, and scalable solver for complex PDE-based applications in science and engineering.
• Abstract（参考訳）: PDEに基づく問題に対する物理インフォームド機械学習手法の多くは、ガウス過程(GP)やニューラルネットワーク(NN)に依存している。 しかし、データが少なく、次元性が高い場合、どちらも制限に直面します。 GPは低次元設定における頑健な不確実性定量化で知られているが、次元が増加するにつれて計算複雑性は禁じられる。 対照的に、従来のNNは高次元入力に対応できるが、広範囲のトレーニングデータを必要とし、不確実な定量化を提供しないことが多い。 これらの課題に対処するために、明示的なPDE制約の下でDLとGPを組み合わせたPDE制約のDeep Kernel Learning(PDE-DKL)フレームワークを提案する。 具体的には、NNは高次元PDE問題の低次元潜在表現を学習し、問題の複雑さを低減させる。 GPは、PDEの管理対象となるカーネルレグレッションを実行し、利用可能なデータが制限されている場合でも、正確な解と原則化された不確実性定量化を保証する。 このシナジーはNNとGPの強度を統一し、高い精度、堅牢な不確実性推定、高次元PDEの計算効率をもたらす。 数値実験により、PDE-DKLはデータ要求を小さくして高い精度を達成することが示された。 彼らは、科学と工学における複雑なPDEベースのアプリケーションのための実用的で信頼性があり、スケーラブルな解決法としての可能性を強調している。

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