論文の概要: Understanding Generalization in Physics Informed Models through Affine Variety Dimensions

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2501.18879v1
• Date: Fri, 31 Jan 2025 04:25:22 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-02-03 14:02:47.375266
• Title: Understanding Generalization in Physics Informed Models through Affine Variety Dimensions
• Title（参考訳）: アフィン変量法による物理インフォームドモデルの一般化の理解
• Authors: Takeshi Koshizuka, Issei Sato,
• Abstract要約: 微分方程式構造を取り入れた線形回帰器の一般化性能はアフィン多様体の次元によって決定されることを示す。 この発見は、非線形方程式を含む様々な方程式の統一的な解析を可能にする。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 35.17568416175663
• License:
• Abstract: In recent years, physics-informed machine learning has gained significant attention for its ability to enhance statistical performance and sample efficiency by integrating physical structures into machine learning models. These structures, such as differential equations, conservation laws, and symmetries, serve as inductive biases that can improve the generalization capacity of the hybrid model. However, the mechanisms by which these physical structures enhance generalization capacity are not fully understood, limiting the ability to guarantee the performance of the models. In this study, we show that the generalization performance of linear regressors incorporating differential equation structures is determined by the dimension of the associated affine variety, rather than the number of parameters. This finding enables a unified analysis of various equations, including nonlinear ones. We introduce a method to approximate the dimension of the affine variety and provide experimental evidence to validate our theoretical insights.
• Abstract（参考訳）: 近年,物理インフォームド機械学習は,物理構造を機械学習モデルに統合することにより,統計性能とサンプル効率を向上させる能力に注目が集まっている。 これらの構造、例えば微分方程式、保存法則、対称性は、ハイブリッドモデルの一般化能力を改善する誘導バイアスとなる。 しかし、これらの物理構造が一般化能力を高めるメカニズムは完全には理解されておらず、モデルの性能を保証する能力が制限される。 本研究では, 微分方程式構造を取り入れた線形回帰器の一般化性能が, パラメータ数ではなく, 関連するアフィン多様体の次元によって決定されることを示す。 この発見は、非線形方程式を含む様々な方程式の統一的な解析を可能にする。 本研究では,アフィン多様体の次元を近似する手法を導入し,理論的知見を検証するための実験的証拠を提供する。

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