論文の概要: Flexible and Efficient Probabilistic PDE Solvers through Gaussian Markov Random Fields

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2503.08343v1
• Date: Tue, 11 Mar 2025 11:53:21 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-03-12 15:41:36.086254
• Title: Flexible and Efficient Probabilistic PDE Solvers through Gaussian Markov Random Fields
• Title（参考訳）: ガウスマルコフ確率場によるフレキシブルで効率的な確率的PDE解法
• Authors: Tim Weiland, Marvin Pförtner, Philipp Hennig,
• Abstract要約: 大規模非線形PDEにおいても,GPプリエントを利用して確率的PDE解法を実用化する方法を示す。 このアプローチはまた、共分散関数でモデル化できるものを超えて、柔軟で物理的に意味のある先行を可能にする。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 23.654711580674885
• License:
• Abstract: Mechanistic knowledge about the physical world is virtually always expressed via partial differential equations (PDEs). Recently, there has been a surge of interest in probabilistic PDE solvers -- Bayesian statistical models mostly based on Gaussian process (GP) priors which seamlessly combine empirical measurements and mechanistic knowledge. As such, they quantify uncertainties arising from e.g. noisy or missing data, unknown PDE parameters or discretization error by design. Prior work has established connections to classical PDE solvers and provided solid theoretical guarantees. However, scaling such methods to large-scale problems remains a fundamental challenge primarily due to dense covariance matrices. Our approach addresses the scalability issues by leveraging the Markov property of many commonly used GP priors. It has been shown that such priors are solutions to stochastic PDEs (SPDEs) which when discretized allow for highly efficient GP regression through sparse linear algebra. In this work, we show how to leverage this prior class to make probabilistic PDE solvers practical, even for large-scale nonlinear PDEs, through greatly accelerated inference mechanisms. Additionally, our approach also allows for flexible and physically meaningful priors beyond what can be modeled with covariance functions. Experiments confirm substantial speedups and accelerated convergence of our physics-informed priors in nonlinear settings.
• Abstract（参考訳）: 物理世界に関する機械的知識は、ほぼ常に偏微分方程式(PDE)によって表される。 ベイズ統計モデルは、主に経験的測定と機械的知識をシームレスに組み合わせたガウス過程(GP)に基づくものである。 そのため、egノイズや欠落データ、未知のPDEパラメータ、あるいは設計による離散化誤差から生じる不確かさを定量化する。 以前の研究は古典的PDEソルバとの接続を確立し、理論上の確固たる保証を提供した。 しかし、そのような手法を大規模問題に拡張することは、主に高密度な共分散行列のため、根本的な課題である。 提案手法は,多くのGPプリエントのマルコフ特性を活用することで,スケーラビリティ問題に対処する。 このような先行性は確率的PDE(SPDE)の解であり、離散化されるとスパース線型代数による高効率なGP回帰が可能であることが示されている。 本研究では, 大規模非線形PDEにおいても, 非常に高速な推論機構を用いて, 確率論的PDE解法を実用化する方法について述べる。 さらに、我々のアプローチは、共分散関数でモデル化できるものを超えて、柔軟で物理的に意味のある先行を可能にする。 実験により、非線形条件下での物理インフォームド先行のかなりのスピードアップと加速収束が確認された。

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