論文の概要: Fully probabilistic deep models for forward and inverse problems in
parametric PDEs
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2208.04856v2
- Date: Fri, 14 Jul 2023 09:20:18 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-07-17 17:38:27.865672
- Title: Fully probabilistic deep models for forward and inverse problems in
parametric PDEs
- Title（参考訳）: パラメトリックpdesの前方および逆問題に対する完全確率的深層モデル
- Authors: Arnaud Vadeboncoeur, \"Omer Deniz Akyildiz, Ieva Kazlauskaite, Mark
Girolami, Fehmi Cirak
- Abstract要約: 本稿では,PDEのパラメータ・ツー・ソリューション(前方)と解・ツー・パラメータ(逆)マップを同時に学習する物理駆動型ディープ潜在変数モデル(PDDLVM)を提案する。
提案フレームワークは、観測データをシームレスに統合し、逆問題を解決するとともに、生成モデルを構築するために容易に拡張できる。
有限要素離散パラメトリックPDE問題に対して,本手法の有効性とロバスト性を示す。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.9599274203282304
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We introduce a physics-driven deep latent variable model (PDDLVM) to learn
simultaneously parameter-to-solution (forward) and solution-to-parameter
(inverse) maps of parametric partial differential equations (PDEs). Our
formulation leverages conventional PDE discretization techniques, deep neural
networks, probabilistic modelling, and variational inference to assemble a
fully probabilistic coherent framework. In the posited probabilistic model,
both the forward and inverse maps are approximated as Gaussian distributions
with a mean and covariance parameterized by deep neural networks. The PDE
residual is assumed to be an observed random vector of value zero, hence we
model it as a random vector with a zero mean and a user-prescribed covariance.
The model is trained by maximizing the probability, that is the evidence or
marginal likelihood, of observing a residual of zero by maximizing the evidence
lower bound (ELBO). Consequently, the proposed methodology does not require any
independent PDE solves and is physics-informed at training time, allowing the
real-time solution of PDE forward and inverse problems after training. The
proposed framework can be easily extended to seamlessly integrate observed data
to solve inverse problems and to build generative models. We demonstrate the
efficiency and robustness of our method on finite element discretized
parametric PDE problems such as linear and nonlinear Poisson problems, elastic
shells with complex 3D geometries, and time-dependent nonlinear and
inhomogeneous PDEs using a physics-informed neural network (PINN)
discretization. We achieve up to three orders of magnitude speed-up after
training compared to traditional finite element method (FEM), while outputting
coherent uncertainty estimates.
- Abstract（参考訳）: パラメトリック偏微分方程式(pdes)のパラメータ対解(前方)と解対パラメータ(逆)マップを同時に学習する物理駆動深潜変数モデル(pddlvm)を提案する。
本稿では,従来のpde離散化手法,ディープニューラルネットワーク,確率的モデリング,変分推論を活用し,完全確率的コヒーレントフレームワークを構築する。
仮定された確率モデルでは、フォワードおよび逆写像は、ディープニューラルネットワークによってパラメータ化された平均と共分散を持つガウス分布として近似される。
PDE残差は値 0 の観測されたランダムベクトルであると仮定し、ゼロ平均とユーザ予測共分散を持つランダムベクトルとしてモデル化する。
このモデルは、証拠の下限(ELBO)を最大化することによりゼロの残差を観測する確率、すなわち証拠または限界確率を最大化することで訓練される。
その結果、提案手法は独立なPDE解決を必要とせず、トレーニング時に物理インフォームドされ、PDEのリアルタイム解とトレーニング後の逆解が実現する。
提案フレームワークは、観測データをシームレスに統合し、逆問題の解決や生成モデルの構築に容易に拡張できる。
本稿では,線形および非線形ポアソン問題,複素3次元ジオメトリを持つ弾性シェル,および物理インフォームドニューラルネットワーク(pinn)離散化を用いた時間依存非線形および不均質pdeなどの有限要素離散パラメトリックpde問題に対する提案手法の効率とロバスト性を示す。
従来の有限要素法 (FEM) と比較して, トレーニング後の最大3桁の高速化を実現し, 一貫性のある不確実性推定を出力する。
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