論文の概要: Fundamental solutions of heat equation on unitary groups establish an improved relation between $ε$-nets and approximate unitary $t$-designs

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2503.08577v1
• Date: Tue, 11 Mar 2025 16:10:45 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-03-12 15:41:41.187260
• Title: Fundamental solutions of heat equation on unitary groups establish an improved relation between $ε$-nets and approximate unitary $t$-designs
• Title（参考訳）: ユニタリ群上の熱方程式の基本解は、$ε$-netsと近似ユニタリ$t$-designsの間の改善された関係を確立する
• Authors: Oskar Słowik, Oliver Reardon-Smith, Adam Sawicki,
• Abstract要約: epsilon$-nets と Unitary $delta$-approximate $t$-designs の概念は、量子計算と情報にまたがって重要かつユビキタスである。 我々は$delta simeq left(epsilon3/2/dright)d2$から$epsilon$-net(epsilon/d1/2right)d2$から$delta simeq left(epsilon/d1/2right)d2$に必要とされる$delta$のバウンダリを改善する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.3654846342364308
• License:
• Abstract: The concepts of $\epsilon$-nets and unitary ($\delta$-approximate) $t$-designs are important and ubiquitous across quantum computation and information. Both notions are closely related and the quantitative relations between $t$, $\delta$ and $\epsilon$ find applications in areas such as (non-constructive) inverse-free Solovay-Kitaev like theorems and random quantum circuits. In recent work, quantitative relations have revealed the close connection between the two constructions, with $\epsilon$-nets functioning as unitary $\delta$-approximate $t$-designs and vice-versa, for appropriate choice of parameters. In this work we improve these results, significantly increasing the bound on the $\delta$ required for a $\delta$-approximate $t$-design to form an $\epsilon$-net from $\delta \simeq \left(\epsilon^{3/2}/d\right)^{d^2}$ to $\delta \simeq \left(\epsilon/d^{1/2}\right)^{d^2}$. We achieve this by constructing polynomial approximations to the Dirac delta using heat kernels on the projective unitary group $\mathrm{PU}(d) \cong\mathbf{U}(d)$, whose properties we studied and which may be applicable more broadly. We also outline the possible applications of our results in quantum circuit overheads, quantum complexity and black hole physics.
• Abstract（参考訳）: $\epsilon$-nets と Unitary$\delta$-approximate) $t$-designs の概念は、量子計算と情報の間で重要かつユビキタスである。 どちらの概念も密接に関連しており、$t$, $\delta$ と $\epsilon$ の間の量的関係は(非構成的な)逆自由ソロヴィ・キタエフ型定理やランダム量子回路のような分野の応用を見つける。 最近の研究で、量的関係は2つの構造の間の密接な関係を明らかにしており、パラメータの適切な選択のために$\epsilon$-nets はユニタリ $\delta$-approximate $t$-designs と vice-versa として機能する。 この作業では、これらの結果を改善するために、$\delta$-approximate $t$-design に必要な$\delta$のバウンダリを大幅に増やし、$\delta \simeq \left(\epsilon^{3/2}/d\right)^{d^2}$ から$\delta \simeq \left(\epsilon/d^{1/2}\right)^{d^2}$ の $\epsilon$-net を形成する。 これを、射影ユニタリ群 $\mathrm{PU}(d) \cong\mathbf{U}(d)$ 上の熱核を用いてディラックデルタへの多項式近似を構築し、その性質を研究し、より広く適用することができる。 また、量子回路のオーバヘッド、量子複雑性、ブラックホール物理学における実験結果の適用可能性についても概説する。

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