論文の概要: (U)NFV: Supervised and Unsupervised Neural Finite Volume Methods for Solving Hyperbolic PDEs
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2505.23702v1
- Date: Thu, 29 May 2025 17:39:25 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2025-05-30 18:14:08.043632
- Title: (U)NFV: Supervised and Unsupervised Neural Finite Volume Methods for Solving Hyperbolic PDEs
- Title（参考訳）: (U)NFV:双曲型PDEを解くための教師なしニューラルネットワーク有限体積法
- Authors: Nathan Lichtlé, Alexi Canesse, Zhe Fu, Hossein Nick Zinat Matin, Maria Laura Delle Monache, Alexandre M. Bayen,
- Abstract要約: 双曲的保存法則を解くために古典的有限体積法(FV)を一般化したモジュラーニューラルネットワークアーキテクチャである(U)NFVを導入する。
(U)NFVはゴドゥノフの手法よりも最大10倍低い誤差を達成し、ENO/WENOを上回り、はるかに少ない複雑さで不連続なガレルキン解法と競合する。
PDEと実験ハイウェイデータの両方からのトラフィックモデリング問題に関して、(U)NFVは従来のFVアプローチよりもはるかに高い忠実度とスケーラビリティを持つ非線形波動特性を捉えている。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 45.041701301070475
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: We introduce (U)NFV, a modular neural network architecture that generalizes classical finite volume (FV) methods for solving hyperbolic conservation laws. Hyperbolic partial differential equations (PDEs) are challenging to solve, particularly conservation laws whose physically relevant solutions contain shocks and discontinuities. FV methods are widely used for their mathematical properties: convergence to entropy solutions, flow conservation, or total variation diminishing, but often lack accuracy and flexibility in complex settings. Neural Finite Volume addresses these limitations by learning update rules over extended spatial and temporal stencils while preserving conservation structure. It supports both supervised training on solution data (NFV) and unsupervised training via weak-form residual loss (UNFV). Applied to first-order conservation laws, (U)NFV achieves up to 10x lower error than Godunov's method, outperforms ENO/WENO, and rivals discontinuous Galerkin solvers with far less complexity. On traffic modeling problems, both from PDEs and from experimental highway data, (U)NFV captures nonlinear wave dynamics with significantly higher fidelity and scalability than traditional FV approaches.
- Abstract（参考訳）: 双曲的保存法則を解くために古典的有限体積法(FV)を一般化したモジュラーニューラルネットワークアーキテクチャである(U)NFVを導入する。
双曲偏微分方程式(PDE)は、特に物理的に関連する解が衝撃や不連続性を含む保存法則を解くのが困難である。
FV法はエントロピー解への収束、流れの保存、あるいは全変動の減少といった数学的性質のために広く用いられているが、複雑な設定では精度と柔軟性が欠けていることが多い。
ニューラルフィニットボリュームは、保存構造を維持しながら、拡張空間および時間ステンシル上の更新規則を学習することで、これらの制限に対処する。
ソリューションデータ(NFV)の教師ありトレーニングと、弱形残留損失(UNFV)による教師なしトレーニングの両方をサポートする。
一階保存法則に適用すると、(U)NFVはゴドゥノフの法則の最大10倍の誤差を達成し、ENO/WENOを上回り、不連続なガレルキン解法をはるかに少ない複雑さで競合する。
PDEと実験ハイウェイデータの両方からのトラフィックモデリング問題に関して、(U)NFVは従来のFVアプローチよりもはるかに高い忠実度とスケーラビリティを持つ非線形波動特性を捉えている。
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