論文の概要: Data-Driven Self-Supervised Learning for the Discovery of Solution Singularity for Partial Differential Equations
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2506.23344v1
- Date: Sun, 29 Jun 2025 17:39:41 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2025-07-01 21:27:53.838452
- Title: Data-Driven Self-Supervised Learning for the Discovery of Solution Singularity for Partial Differential Equations
- Title（参考訳）: データ駆動型自己教師付き学習による部分微分方程式の解特異性の発見
- Authors: Difeng Cai, Paulina Sepúlveda,
- Abstract要約: 興味の関数における特異点の出現は、科学計算における根本的な課題である。
特異点の位置を推定するための自己教師付き学習フレームワークを提案する。
入力摂動,ラベルの破損,および異なる種類の特異点を扱うための提案手法の能力を示すために,様々な実験を行った。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: The appearance of singularities in the function of interest constitutes a fundamental challenge in scientific computing. It can significantly undermine the effectiveness of numerical schemes for function approximation, numerical integration, and the solution of partial differential equations (PDEs), etc. The problem becomes more sophisticated if the location of the singularity is unknown, which is often encountered in solving PDEs. Detecting the singularity is therefore critical for developing efficient adaptive methods to reduce computational costs in various applications. In this paper, we consider singularity detection in a purely data-driven setting. Namely, the input only contains given data, such as the vertex set from a mesh. To overcome the limitation of the raw unlabeled data, we propose a self-supervised learning (SSL) framework for estimating the location of the singularity. A key component is a filtering procedure as the pretext task in SSL, where two filtering methods are presented, based on $k$ nearest neighbors and kernel density estimation, respectively. We provide numerical examples to illustrate the potential pathological or inaccurate results due to the use of raw data without filtering. Various experiments are presented to demonstrate the ability of the proposed approach to deal with input perturbation, label corruption, and different kinds of singularities such interior circle, boundary layer, concentric semicircles, etc.
- Abstract（参考訳）: 興味の関数における特異点の出現は、科学計算における根本的な課題である。
関数近似、数値積分、および偏微分方程式(PDE)の解に対する数値スキームの有効性を著しく損なう可能性がある。
この問題は特異点の位置が未知であればより洗練されたものとなり、PDEを解く際にしばしば遭遇する。
したがって、特異点の検出は、様々なアプリケーションにおける計算コストを削減する効率的な適応法を開発する上で重要である。
本稿では,純粋にデータ駆動型環境での特異性検出について考察する。
すなわち、入力はメッシュから設定された頂点のような所定のデータのみを含む。
生のラベルなしデータの制限を克服するため,特異点の位置を推定するための自己教師付き学習(SSL)フレームワークを提案する。
鍵となるコンポーネントはSSLのプリテキストタスクとしてのフィルタリング手順であり、それぞれ$k$近辺とカーネル密度推定に基づいて2つのフィルタリング方法が提示される。
そこで本研究では, フィルタを使わずに, 生データの使用による潜在的な病理学的, あるいは不正確な結果を示す数値的な例を示す。
入力摂動,ラベルの破損,内部円,境界層,同心半円など,さまざまな特異点を扱うための提案手法の有効性を示すために,様々な実験を行った。
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