論文の概要: A Variational Physics-Informed Neural Network Framework Using Petrov-Galerkin Method for Solving Singularly Perturbed Boundary Value Problems

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2509.12271v1
• Date: Sat, 13 Sep 2025 18:25:00 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-09-17 17:50:52.667491
• Title: A Variational Physics-Informed Neural Network Framework Using Petrov-Galerkin Method for Solving Singularly Perturbed Boundary Value Problems
• Title（参考訳）: ペトロフ・ゲーラーキン法による変分物理インフォームニューラルネットワークによる特異摂動境界値問題の解法
• Authors: Vijay Kumar, Gautam Singh,
• Abstract要約: 本研究は,ペトロフ・ガレルキン定式化とディープニューラルネットワーク(DNN)を統合するフレームワークを提案する。 1次元の特異摂動境界値問題(BVP)と1つまたは2つの小さなパラメータを含む放物的偏微分方程式(PDE)を解く。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 14.126509388112302
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: This work proposes a Variational Physics-Informed Neural Network (VPINN) framework that integrates the Petrov-Galerkin formulation with deep neural networks (DNNs) for solving one-dimensional singularly perturbed boundary value problems (BVPs) and parabolic partial differential equations (PDEs) involving one or two small parameters. The method adopts a nonlinear approximation in which the trial space is defined by neural network functions, while the test space is constructed from hat functions. The weak formulation is constructed using localized test functions, with interface penalty terms introduced to enhance numerical stability and accurately capture boundary layers. Dirichlet boundary conditions are imposed via hard constraints, and source terms are computed using automatic differentiation. Numerical experiments on benchmark problems demonstrate the effectiveness of the proposed method, showing significantly improved accuracy in both the $L_2$ and maximum norms compared to the standard VPINN approach for one-dimensional singularly perturbed differential equations (SPDEs).
• Abstract（参考訳）: 本研究では,ペトロフ・ガレルキンの定式化をディープニューラルネットワーク(DNN)と統合し,1次元の特異摂動境界値問題(BVP)と1つまたは2つの小さなパラメータを含む放物的偏微分方程式(PDE)の解法を提案する。 試験空間はニューラルネットワーク関数によって定義され、試験空間はハット関数から構成される非線形近似を採用する。 弱い定式化は局所化テスト関数を用いて構築され、数値安定性を高め境界層を正確に捕捉するためのインターフェースペナルティ項が導入された。 ディリクレ境界条件は厳しい制約によって課され、ソース項は自動微分を用いて計算される。 ベンチマーク問題に対する数値実験により, 1次元特異摂動微分方程式(SPDE)の標準VPINN法と比較して, L_2$および最大ノルムの精度が有意に向上した。

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