論文の概要: The Finite Element Neural Network Method: One Dimensional Study

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2501.12508v1
• Date: Tue, 21 Jan 2025 21:39:56 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-01-23 13:28:50.922935
• Title: The Finite Element Neural Network Method: One Dimensional Study
• Title（参考訳）: 有限要素ニューラルネットワーク法の一次元研究
• Authors: Mohammed Abda, Elsa Piollet, Christopher Blake, Frédérick P. Gosselin,
• Abstract要約: 本研究は,ペトロフ・ガレルキン法(ペトロフ・ガレルキン法)の枠組みにおける有限要素ニューラルネットワーク法(FENNM)を紹介する。 FENNMは、微分方程式の重み付け残差を近似するために畳み込み演算を用いる。 これにより、従来の有限要素法(FEM)の解法と同様に、強制項と自然境界条件を損失関数に統合することができる。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License:
• Abstract: The potential of neural networks (NN) in engineering is rooted in their capacity to understand intricate patterns and complex systems, leveraging their universal nonlinear approximation capabilities and high expressivity. Meanwhile, conventional numerical methods, backed by years of meticulous refinement, continue to be the standard for accuracy and dependability. Bridging these paradigms, this research introduces the finite element neural network method (FENNM) within the framework of the Petrov-Galerkin method using convolution operations to approximate the weighted residual of the differential equations. The NN generates the global trial solution, while the test functions belong to the Lagrange test function space. FENNM introduces several key advantages. Notably, the weak-form of the differential equations introduces flux terms that contribute information to the loss function compared to VPINN, hp-VPINN, and cv-PINN. This enables the integration of forcing terms and natural boundary conditions into the loss function similar to conventional finite element method (FEM) solvers, facilitating its optimization, and extending its applicability to more complex problems, which will ease industrial adoption. This study will elaborate on the derivation of FENNM, highlighting its similarities with FEM. Additionally, it will provide insights into optimal utilization strategies and user guidelines to ensure cost-efficiency. Finally, the study illustrates the robustness and accuracy of FENNM by presenting multiple numerical case studies and applying adaptive mesh refinement techniques.
• Abstract（参考訳）: 工学におけるニューラルネットワーク(NN)の可能性は、複雑なパターンや複雑なシステムを理解する能力に根ざしており、その普遍的な非線形近似能力と高い表現性を活用している。 一方、長年の精巧な精巧化を背景とした従来の数値法は、精度と信頼性の基準であり続けている。 これらのパラダイムをブリッジして、微分方程式の重み付け残差を近似するために畳み込み演算を用いたペトロフ・ガレルキン法(ペトロフ・ガレルキン法)の枠組み内で有限要素ニューラルネットワーク法(FENNM)を導入する。 NNはグローバルトライアルソリューションを生成し、テスト関数はラグランジュテスト関数空間に属する。 FENNMにはいくつかの大きな利点がある。 特に、微分方程式の弱形式は、VPINN、hp-VPINN、cv-PINNと比較して損失関数に情報をもたらすフラックス項を導入する。 これにより、強制項と自然境界条件を従来の有限要素法(FEM)の解法と同様の損失関数に統合し、その最適化を容易にし、その適用性をより複雑な問題に拡張し、工業的採用を容易にする。 本研究は、FENNMの導出について詳述し、FEMとの類似点を明らかにする。 さらに、コスト効率を確保するために最適な利用戦略とユーザーガイドラインに関する洞察を提供する。 最後に、複数のケーススタディを示し、適応メッシュ精錬技術を適用して、FENNMの堅牢性と正確性を示す。

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