論文の概要: Numerical Solution of Stiff Ordinary Differential Equations with Random Projection Neural Networks

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2108.01584v1
• Date: Tue, 3 Aug 2021 15:49:17 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2021-08-04 13:48:45.843612
• Title: Numerical Solution of Stiff Ordinary Differential Equations with Random Projection Neural Networks
• Title（参考訳）: ランダム射影ニューラルネットワークを用いた剛常微分方程式の数値解法
• Authors: Evangelos Galaris, Francesco Calabr\`o, Daniela di Serafino, Constantinos Siettos
• Abstract要約: 正規微分方程式(ODE)の解に対する乱射影ニューラルネットワーク(RPNN)に基づく数値スキームを提案する。 提案手法は剛性の影響を受けずに高い数値近似精度を示し,textttode45 と textttode15s の関数よりも優れていた。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We propose a numerical scheme based on Random Projection Neural Networks (RPNN) for the solution of Ordinary Differential Equations (ODEs) with a focus on stiff problems. In particular, we use an Extreme Learning Machine, a single-hidden layer Feedforward Neural Network with Radial Basis Functions which widths are uniformly distributed random variables, while the values of the weights between the input and the hidden layer are set equal to one. The numerical solution is obtained by constructing a system of nonlinear algebraic equations, which is solved with respect to the output weights using the Gauss-Newton method. For our illustrations, we apply the proposed machine learning approach to solve two benchmark stiff problems, namely the Rober and the van der Pol ones (the latter with large values of the stiffness parameter), and we perform a comparison with well-established methods such as the adaptive Runge-Kutta method based on the Dormand-Prince pair, and a variable-step variable-order multistep solver based on numerical differentiation formulas, as implemented in the \texttt{ode45} and \texttt{ode15s} MATLAB functions, respectively. We show that our proposed scheme yields good numerical approximation accuracy without being affected by the stiffness, thus outperforming in same cases the \texttt{ode45} and \texttt{ode15s} functions. Importantly, upon training using a fixed number of collocation points, the proposed scheme approximates the solution in the whole domain in contrast to the classical time integration methods.
• Abstract（参考訳）: 本稿では,ランダム射影ニューラルネットワーク(rpnn)に基づく数値スキームを提案し,厳密な問題に着目した常微分方程式(odes)の解法を提案する。 特に,単一隠れ層フィードフォワードニューラルネットワークであるExtreme Learning Machineを用いて,幅が一様分布の確率変数であり,入力と隠蔽層の間の重みの値が1に等しいように設定した。 数値解は、ガウス・ニュートン法を用いて出力重みに関して解く非線形代数方程式の系を構築することにより得られる。 For our illustrations, we apply the proposed machine learning approach to solve two benchmark stiff problems, namely the Rober and the van der Pol ones (the latter with large values of the stiffness parameter), and we perform a comparison with well-established methods such as the adaptive Runge-Kutta method based on the Dormand-Prince pair, and a variable-step variable-order multistep solver based on numerical differentiation formulas, as implemented in the \texttt{ode45} and \texttt{ode15s} MATLAB functions, respectively. 提案手法は剛性に影響されずに良好な数値近似精度が得られることを示し,同様に \texttt{ode45} と \texttt{ode15s} 関数を上回った。 重要なことに、固定数のコロケーションポイントを用いたトレーニングでは、古典的時間積分法とは対照的に、提案手法は領域全体の解を近似する。

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