論文の概要: Quantum Metric Spaces: Replacing Fuzzy Metrics with the Hilbert Space Structure of Quantum States

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2509.15945v1
• Date: Fri, 19 Sep 2025 12:54:21 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-09-22 18:18:11.167257
• Title: Quantum Metric Spaces: Replacing Fuzzy Metrics with the Hilbert Space Structure of Quantum States
• Title（参考訳）: 量子量空間:量子状態のヒルベルト空間構造によるファジィ計量の置き換え
• Authors: Nicola Fabiano,
• Abstract要約: ファジィ計量空間は、Tノルムと会員関数に基礎を置いており、機械学習、意思決定システム、人工知能の不確実性をモデル化するために広く提案されている。 ファジィ計量はそのような不確実性をモデル化するために不要であり、代わりに複素ヒルベルト空間の構造は自然で厳密で非矛盾な計量空間を提供する。 この枠組みは本質的に、ファジィ論理、tノルム、会員次数を必要としない非古典的な不確かさを捉えている。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Fuzzy metric spaces, grounded in t-norms and membership functions, have been widely proposed to model uncertainty in machine learning, decision systems, and artificial intelligence. Yet these frameworks treat uncertainty as an external layer of imprecision imposed upon classical, point-like entities - a conceptual mismatch for domains where indeterminacy is intrinsic, such as quantum systems or cognitive representations. We argue that fuzzy metrics are unnecessary for modeling such uncertainty: instead, the well-established structure of complex Hilbert spaces - the foundational language of quantum mechanics for over a century - provides a natural, rigorous, and non-contradictory metric space where the ``points'' are quantum states themselves. The distance between states is given by the Hilbert norm, which directly encodes state distinguishability via the Born rule. This framework inherently captures the non-classical nature of uncertainty without requiring fuzzy logic, t-norms, or membership degrees. We demonstrate its power by modeling AI concepts as Gaussian wavefunctions and classifying ambiguous inputs via quantum overlap integrals. Unlike fuzzy methods, our approach naturally handles interference, distributional shape, and concept compositionality through the geometry of state vectors. We conclude that fuzzy metric spaces, while historically useful, are obsolete for representing intrinsic uncertainty - superseded by the more robust, predictive, and ontologically coherent framework of quantum state geometry.
• Abstract（参考訳）: ファジィ計量空間は、Tノルムと会員関数に基礎を置いており、機械学習、意思決定システム、人工知能の不確実性をモデル化するために広く提案されている。 しかし、これらのフレームワークは、古典的な点のような実体に課される不確定性の外部層として不確実性を扱う。 そのような不確実性をモデル化するためにファジィ計量は不要である:代わりに、1世紀以上にわたって量子力学の基礎言語である複素ヒルベルト空間の十分に確立された構造は、'ポイント'が量子状態自身である自然で厳密で非矛盾的な計量空間を提供する。 状態間の距離はヒルベルトノルムによって与えられ、ボルン則を通じて状態の区別可能性を直接符号化する。 この枠組みは本質的に、ファジィ論理、tノルム、会員次数を必要としない非古典的な不確かさを捉えている。 我々は、AIの概念をガウス波動関数としてモデル化し、量子オーバーラップ積分によって曖昧な入力を分類することでその力を実証する。 ファジィ法とは異なり、我々の手法は状態ベクトルの幾何学を通して干渉、分布形状、概念構成性を自然に扱う。 ファジィ計量空間は歴史的に有用であるが、本質的な不確実性を表現するために時代遅れであり、量子状態幾何学のより堅牢で予測的で、存在論的に一貫性のある枠組みに取って代わられている。

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