論文の概要: A Generalized $χ_n$-Function

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2509.20880v1
• Date: Thu, 25 Sep 2025 08:10:02 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-09-26 20:58:12.783581
• Title: A Generalized $χ_n$-Function
• Title（参考訳）: 一般化された$s_n$-Function
• Authors: Cheng Lyu, Mu Yuan, Dabin Zheng, Siwei Sun, Shun Li,
• Abstract要約: 一般化写像 $chi_n, m$ by $y=chi_n, m(x)$ with $y_i=x_i+x_i+m (x_i+m-1+1)(x_i+m-2+1) cdots (x_i+m-1+1)(x_i+m-1+1) cdots (x_i+m-1+1) cdots (x_i+m-1+1) cdots (x_i+m-1+1)
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 15.15494896344824
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: The mapping $\chi_n$ from $\F_{2}^{n}$ to itself defined by $y=\chi_n(x)$ with $y_i=x_i+x_{i+2}(1+x_{i+1})$, where the indices are computed modulo $n$, has been widely studied for its applications in lightweight cryptography. However, $\chi_n $ is bijective on $\F_2^n$ only when $n$ is odd, restricting its use to odd-dimensional vector spaces over $\F_2$. To address this limitation, we introduce and analyze the generalized mapping $\chi_{n, m}$ defined by $y=\chi_{n,m}(x)$ with $y_i=x_i+x_{i+m} (x_{i+m-1}+1)(x_{i+m-2}+1) \cdots (x_{i+1}+1)$, where $m$ is a fixed integer with $m\nmid n$. To investigate such mappings, we further generalize $\chi_{n,m}$ to $\theta_{m, k}$, where $\theta_{m, k}$ is given by $y_i=x_{i+mk} \prod_{\substack{j=1,\,\, m \nmid j}}^{mk-1} \left(x_{i+j}+1\right), \,\,{\rm for }\,\, i\in \{0,1,\ldots,n-1\}$. We prove that these mappings generate an abelian group isomorphic to the group of units in $\F_2[z]/(z^{\lfloor n/m\rfloor +1})$. This structural insight enables us to construct a broad class of permutations over $\F_2^n$ for any positive integer $n$, along with their inverses. We rigorously analyze algebraic properties of these mappings, including their iterations, fixed points, and cycle structures. Additionally, we provide a comprehensive database of the cryptographic properties for iterates of $\chi_{n,m}$ for small values of $n$ and $m$. Finally, we conduct a comparative security and implementation cost analysis among $\chi_{n,m}$, $\chi_n$, $\chi\chi_n$ (EUROCRYPT 2025 \cite{belkheyar2025chi}) and their variants, and prove Conjecture~1 proposed in~\cite{belkheyar2025chi} as a by-product of our study. Our results lead to generalizations of $\chi_n$, providing alternatives to $\chi_n$ and $\chi\chi_n$.
• Abstract（参考訳）: 写像 $\chi_n$ from $\F_{2}^{n}$ は $y=\chi_n(x)$ with $y_i=x_i+x_{i+2}(1+x_{i+1})$ で定義され、そのインデックスはmodulo $n$ で計算される。 しかし、$\chi_n $ は $\F_2^n$ 上の単射であり、$n$ が奇数であるときのみ、$\F_2$ 上の奇次元ベクトル空間にその使用を制限する。 この制限に対処するために、一般化された写像 $\chi_{n, m}$ を $y=\chi_{n,m}(x)$ with $y_i=x_i+x_{i+m} (x_{i+m-1}+1)(x_{i+m-2}+1) \cdots (x_{i+1}+1)$ で定義し、解析する。 そのような写像を調べるために、$\chi_{n,m}$を$\theta_{m, k}$に一般化し、$\theta_{m, k}$は$y_i=x_{i+mk} \prod_{\substack{j=1,\,\,m \nmid j}}^{mk-1} \left(x_{i+j}+1\right), \,\,{\rm for }\,\,i\in \{0,1,\ldots,n-1\}$で与えられる。 これらの写像が$\F_2[z]/(z^{\lfloor n/m\rfloor +1})$ の単位群に同型なアーベル群を生成することを証明している。 この構造的洞察により、任意の正の整数 $n$ に対して $\F_2^n$ 上の幅広い置換のクラスをそれらの逆数とともに構成することができる。 これらの写像の代数的性質は、反復、固定点、サイクル構造を含む厳密に解析する。 さらに、小さな値が$n$と$m$に対して$\chi_{n,m}$を反復する暗号特性の包括的なデータベースを提供する。 最後に、我々は、$\chi_{n,m}$, $\chi_n$, $\chi\chi_n$ (EUROCRYPT 2025 \cite{belkheyar2025chi})とその変種の比較セキュリティと実装コスト分析を行い、この研究の副産物として、~\cite{belkheyar2025chi}で提案されたConjecture~1を証明した。 我々の結果は$\chi_n$ の一般化につながり、$\chi_n$ と $\chi_n$ の代替となる。

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