論文の概要: A Note on Rough Set Algebra and Core Regular Double Stone Algebras

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2101.02313v2
• Date: Mon, 18 Jan 2021 18:57:26 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2021-04-10 13:29:02.776649
• Title: A Note on Rough Set Algebra and Core Regular Double Stone Algebras
• Title（参考訳）: Rough Set AlgebraとCoreular Double Stone Algebraについての一考察
• Authors: Daniel J. Clouse
• Abstract要約: 主定理では、$R_theta$ with $|theta_u| > 1 forall u in U$ to isomorphic to $TP_E$ and $C_3E$, and the three CRDSA's are complete and atomic。 Main Corollaryでは、$R_theta$を$TP_U$、$C_3U$、$phicirc alpha_r:R_thetahookrightに埋め込む方法を明確に示しています。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/
• Abstract: Given an approximation space $\langle U,\theta \rangle$, assume that $E$ is the indexing set for the equivalence classes of $\theta$ and let $R_\theta$ denote the collection of rough sets of the form $\langle\underline{X},\overline{X}\rangle$ as a regular double Stone algebra and what I. Dunstch referred to as a Katrinak algebra.[7],[8] We give an alternate proof from the one given in [1] of the fact that if $|\theta_u| > 1\ \forall\ u \in U$ then $R_\theta$ is a core regular double Stone algebra. Further let $C_3$ denote the 3 element chain as a core regular double Stone algebra and $TP_U$ denote the collection of ternary partitions over the set $U$. In our Main Theorem we show $R_\theta$ with $|\theta_u| > 1\ \forall\ u \in U$ to be isomorphic to $TP_E$ and $C_3^E$, with $E$ is an indexing set for $\theta$, and that the three CRDSA's are complete and atomic. We feel this could be very useful when dealing with a specific $R_\theta$ in an application. In our Main Corollary we show explicitly how we can embed such $R_\theta$ in $TP_U$, $C_3^U$, respectively, $\phi\circ \alpha_r:R_\theta\hookrightarrow TP_U\hookrightarrow C_3^U$, and hence identify it with its specific images. Following in the footsteps of Theorem 3. and Corollary 2.4 of [7], we show $C_3^J \cong R_\theta$ for $\langle U,\theta \rangle$ the approximation space given by $U = J \times \{0,1\}$, $\theta = \{(j0),(j1)\} : j \in J\}$ and every CRDSA is isomorphic to a subalgebra of a principal rough set algebra, $R_\theta$, for some approximation space $\langle U,\theta \rangle$. Finally, we demonstrate this and our Main Theorem by expanding an example from [1]. Further, we know a little more about the subalgebras of $TP_U$ and $C_3^U$ in general as they must exist for every $E$ that is an indexing set for the equivalence classes of any equivalence relation $\theta$ on $U$ satisfying $|\theta_u| > 1\ \forall\ u \in U$.
• Abstract（参考訳）: 近似空間 $\langle u,\theta \rangle$ が与えられたとき、$e$ が$\theta$ の同値類のインデックス集合であると仮定し、$r_\theta$ を通常の二重石代数として $\langle\underline{x},\overline{x}\rangle$ という形の粗集合の集合と、i. dunstch がカトリナック代数と呼ぶものと仮定する。 [7],[8] が [1] で与えられる証明から別の証明を与える:$|\theta_u| > 1\ \forall\ u \in U$ ならば、$R_\theta$ は核正則な二重ストーン代数である。 さらに、$C_3$ は 3 つの元鎖をコア正則ダブルストーン代数とし、$TP_U$ は集合 $U$ 上の三次分割の集合を表す。 R_\theta$ with $|\theta_u| > 1\ \forall\ u \in U$ to be isomorphic to $TP_E$ and $C_3^E$, with $E$ is a indexing set for $\theta$, and the three CRDSA's are complete and atomic。 これはアプリケーション内の特定の$r_\theta$を扱うときに非常に便利だと思います。 r_\theta$をそれぞれ$tp_u$、$c_3^u$、$\phi\circ \alpha_r:r_\theta\hookrightarrow tp_u\hookrightarrow c_3^u$に組み込む方法を明確に示します。 定理 3 と [7] の補題 2.4 を踏襲すると、$c_3^j \cong r_\theta$ for $\langle u,\theta \rangle$ $u = j \times \{0,1\}$, $\theta = \{(j0),(j1)\} : j \in j\}$ で与えられる近似空間が示され、すべての crdsa は主粗集合代数の部分代数 $r_\theta$ に同型である。 最後に、 [1] から例を拡張することで、これと主定理を実証する。 さらに、一般に$TP_U$ および $C_3^U$ の部分代数についてもう少し知ることができ、これは任意の同値関係の同値類に対するインデックス集合である$E$ に対して、$|\theta_u| > 1\ \forall\ u \in U$ に対して存在しなければならない。

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