論文の概要: A Quantum Algorithm for the Finite Element Method

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2510.18150v1
• Date: Mon, 20 Oct 2025 23:00:12 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-10-25 03:08:12.715258
• Title: A Quantum Algorithm for the Finite Element Method
• Title（参考訳）: 有限要素法の量子アルゴリズム
• Authors: Ahmad M. Alkadri, Tyler D. Kharazi, K. Birgitta Whaley, Kranthi K. Mandadapu,
• Abstract要約: 有限要素法(有限要素法)(FEM)は偏微分方程式(PDE)の解法である 有限要素法のためのフォールトトレラント時代量子アルゴリズムであるtextbfQu-FEM$を提案する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: The finite element method (FEM) is a cornerstone numerical technique for solving partial differential equations (PDEs). Here, we present $\textbf{Qu-FEM}$, a fault-tolerant era quantum algorithm for the finite element method. In contrast to other quantum PDE solvers, Qu-FEM preserves the geometric flexibility of FEM by introducing two new primitives, the unit of interaction and the local-to-global indicator matrix, which enable the assembly of global finite element arrays with a constant-size linear combination of unitaries. We study the modified Poisson equation as an elliptic problem of interest, and provide explicit circuits for Qu-FEM in Cartesian domains. For problems with constant coefficients, our algorithm admits block-encodings of global arrays that require only $\tilde{\mathcal{O}}\left(d^2 p^2 n\right)$ Clifford+$T$ gates for $d$-dimensional, order-$p$ tensor product elements on grids with $2^n$ degrees of freedom in each dimension, where $n$ is the number of qubits representing the $N=2^n$ discrete grid points. For problems with spatially varying coefficients, we perform numerical integration directly on the quantum computer to assemble global arrays and force vectors. Dirichlet boundary conditions are enforced via the method of Lagrange multipliers, eliminating the need to modify the block-encodings that emerge from the assembly procedure. This work presents a framework for extending the geometric flexibility of quantum PDE solvers while preserving the possibility of a quantum advantage.
• Abstract（参考訳）: 有限要素法 (FEM) は偏微分方程式(PDE)の解法である。 ここでは、有限要素法のためのフォールトトレラント時代量子アルゴリズムである$\textbf{Qu-FEM}$を示す。 他の量子PDEソルバとは対照的に、Qu-FEMは相互作用の単位と局所-グロバル指標行列という2つの新しいプリミティブを導入することにより、FEMの幾何学的柔軟性を保っている。 改良されたポアソン方程式を興味のある楕円問題として研究し、カルテシアン領域におけるQu-FEMの明示的な回路を提供する。 定数係数を持つ問題に対して、我々のアルゴリズムは、$\tilde{\mathcal{O}}\left(d^2 p^2 n\right)$ Clifford+$T$ gates for $d$-dimensional, order-p$ tensor product elements with grids with $2^n$ degrees in each dimension, where $n$ is the number of qubits representation the $N=2^n$ cross grid points。 空間的に異なる係数の問題を解くため、量子コンピュータ上で数値積分を行い、大域配列や力ベクトルを組み立てる。 ディリクレ境界条件はラグランジュ乗算器の手法によって強制され、アセンブリ手順から現れるブロックエンコーディングを変更する必要がなくなる。 この研究は、量子優位性の可能性を維持しつつ、量子PDEソルバの幾何学的柔軟性を拡張するための枠組みを示す。

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