論文の概要: Accelerating Data Generation for Nonlinear temporal PDEs via homologous perturbation in solution space

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2510.21592v1
• Date: Fri, 24 Oct 2025 15:59:58 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-10-28 06:57:23.442582
• Title: Accelerating Data Generation for Nonlinear temporal PDEs via homologous perturbation in solution space
• Title（参考訳）: 解空間におけるホモロジー摂動による非線形時間PDEの高速化データ生成
• Authors: Lei Liu, Zhenxin Huang, Hong Wang, huanshuo dong, Haiyang Xin, Hongwei Zhao, Bin Li,
• Abstract要約: 我々はhomologous Perturbation in Solution Space (HOPSS)と呼ばれる新しいデータ生成アルゴリズムを提案する。 HOPSSは、大規模なタイムステップデータセットを生成する従来のアプローチに従うのではなく、より少ないタイムステップでトレーニングデータセットを直接生成する。 例えば、Navier-Stokes方程式では、1万のサンプルを従来の手法の約10%の時間で生成し、モデルトレーニングのパフォーマンスに匹敵する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 14.26905095515366
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Data-driven deep learning methods like neural operators have advanced in solving nonlinear temporal partial differential equations (PDEs). However, these methods require large quantities of solution pairs\u2014the solution functions and right-hand sides (RHS) of the equations. These pairs are typically generated via traditional numerical methods, which need thousands of time steps iterations far more than the dozens required for training, creating heavy computational and temporal overheads. To address these challenges, we propose a novel data generation algorithm, called HOmologous Perturbation in Solution Space (HOPSS), which directly generates training datasets with fewer time steps rather than following the traditional approach of generating large time steps datasets. This algorithm simultaneously accelerates dataset generation and preserves the approximate precision required for model training. Specifically, we first obtain a set of base solution functions from a reliable solver, usually with thousands of time steps, and then align them in time steps with training datasets by downsampling. Subsequently, we propose a "homologous perturbation" approach: by combining two solution functions (one as the primary function, the other as a homologous perturbation term scaled by a small scalar) with random noise, we efficiently generate comparable-precision PDE data points. Finally, using these data points, we compute the variation in the original equation's RHS to form new solution pairs. Theoretical and experimental results show HOPSS lowers time complexity. For example, on the Navier-Stokes equation, it generates 10,000 samples in approximately 10% of traditional methods' time, with comparable model training performance.
• Abstract（参考訳）: ニューラル演算子のようなデータ駆動深層学習法は非線形時間偏微分方程式(PDE)の解法において進歩している。 しかし、これらの方法は、方程式の解関数と右辺(RHS)を大量に必要とします。 これらのペアは通常、従来の数値的手法で生成され、トレーニングに必要な数十以上の時間ステップのイテレーションが必要であり、重い計算と時間的オーバーヘッドを発生させる。 これらの課題に対処するため,HOPSS(HOmologous Perturbation in Solution Space)と呼ばれる新しいデータ生成アルゴリズムを提案する。 このアルゴリズムは、データセット生成を同時に加速し、モデルトレーニングに必要な近似精度を保存する。 具体的には、まず信頼性のある解法から、通常は数千の時間ステップを持つ基本解関数のセットを取得し、その後、ダウンサンプリングによるデータセットのトレーニングとタイムステップで整列する。 次に,2つの解関数(1つは一次関数,もう1つは小さなスカラーでスケールしたホモロジー摂動項)をランダムノイズと組み合わせることで,等価精度のPDEデータポイントを効率的に生成する「ホモロジー摂動」手法を提案する。 最後に、これらのデータポイントを用いて、元の方程式の RHS の変動を計算し、新しい解対を形成する。 理論的および実験的結果は、HOPSSが時間の複雑さを低下させることを示している。 例えば、Navier-Stokes方程式では、1万のサンプルを従来の手法の約10%の時間で生成し、モデルトレーニングのパフォーマンスに匹敵する。

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