論文の概要: Meshless solutions of PDE inverse problems on irregular geometries

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2510.25752v1
• Date: Wed, 29 Oct 2025 17:49:40 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-10-30 15:50:45.900273
• Title: Meshless solutions of PDE inverse problems on irregular geometries
• Title（参考訳）: 不規則測地上のPDE逆問題のメッシュレス解
• Authors: James V. Roggeveen, Michael P. Brenner,
• Abstract要約: 任意の領域のスペクトルベースを用いて解をパラメータ化する手法を提案する。 機械学習のために開発されたプロトコルは、幅広い方程式に対して指数収束の解を求める。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.9768971131934459
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Solving inverse and optimization problems over solutions of nonlinear partial differential equations (PDEs) on complex spatial domains is a long-standing challenge. Here we introduce a method that parameterizes the solution using spectral bases on arbitrary spatiotemporal domains, whereby the basis is defined on a hyperrectangle containing the true domain. We find the coefficients of the basis expansion by solving an optimization problem whereby both the equations, the boundary conditions and any optimization targets are enforced by a loss function, building on a key idea from Physics-Informed Neural Networks (PINNs). Since the representation of the function natively has exponential convergence, so does the solution of the optimization problem, as long as it can be solved efficiently. We find empirically that the optimization protocols developed for machine learning find solutions with exponential convergence on a wide range of equations. The method naturally allows for the incorporation of data assimilation by including additional terms in the loss function, and for the efficient solution of optimization problems over the PDE solutions.
• Abstract（参考訳）: 複素空間領域上の非線形偏微分方程式(PDE)の解に対する逆問題と最適化問題の解法は長年の課題である。 本稿では,任意の時空間領域のスペクトル基底を用いて解をパラメータ化する手法を提案する。 物理情報ニューラルネットワーク (PINN) のキーアイデアに基づいて, 方程式, 境界条件, 最適化目標の両方を損失関数によって強制する最適化問題を解くことにより, 基底展開の係数を求める。 関数の表現は指数収束を持つので、効率的に解ける限り最適化問題の解も得られる。 機械学習のために開発された最適化プロトコルは、幅広い方程式に対して指数収束の解を求めることを実証的に見出した。 この方法では、損失関数に余分な項を含めることでデータ同化を自然に行うことができ、PDE解に対する最適化問題を効率的に解ける。

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