論文の概要: Operator Learning at Machine Precision

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2511.19980v1
• Date: Tue, 25 Nov 2025 06:49:25 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-11-26 17:37:04.309263
• Title: Operator Learning at Machine Precision
• Title（参考訳）: 機械精度における演算子学習
• Authors: Aras Bacho, Aleksei G. Sorokin, Xianjin Yang, Théo Bourdais, Edoardo Calvello, Matthieu Darcy, Alexander Hsu, Bamdad Hosseini, Houman Owhadi,
• Abstract要約: 我々は,機械精度を実現する演算子学習パラダイムであるCHONKNORIS(Cholesky Newton--Kantorovich Neural Operator Residual Iterative System)を紹介する。 多くの非線形前方および逆PDE問題はニュートン型法で解ける。 我々のモデルは、クライン-ゴルドン方程式やシン-ゴルドン方程式のような目に見えない非線形PDEを正確に解くことができる。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 36.02387239941959
• License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/
• Abstract: Neural operator learning methods have garnered significant attention in scientific computing for their ability to approximate infinite-dimensional operators. However, increasing their complexity often fails to substantially improve their accuracy, leaving them on par with much simpler approaches such as kernel methods and more traditional reduced-order models. In this article, we set out to address this shortcoming and introduce CHONKNORIS (Cholesky Newton--Kantorovich Neural Operator Residual Iterative System), an operator learning paradigm that can achieve machine precision. CHONKNORIS draws on numerical analysis: many nonlinear forward and inverse PDE problems are solvable by Newton-type methods. Rather than regressing the solution operator itself, our method regresses the Cholesky factors of the elliptic operator associated with Tikhonov-regularized Newton--Kantorovich updates. The resulting unrolled iteration yields a neural architecture whose machine-precision behavior follows from achieving a contractive map, requiring far lower accuracy than end-to-end approximation of the solution operator. We benchmark CHONKNORIS on a range of nonlinear forward and inverse problems, including a nonlinear elliptic equation, Burgers' equation, a nonlinear Darcy flow problem, the Calderón problem, an inverse wave scattering problem, and a problem from seismic imaging. We also present theoretical guarantees for the convergence of CHONKNORIS in terms of the accuracy of the emulated Cholesky factors. Additionally, we introduce a foundation model variant, FONKNORIS (Foundation Newton--Kantorovich Neural Operator Residual Iterative System), which aggregates multiple pre-trained CHONKNORIS experts for diverse PDEs to emulate the solution map of a novel nonlinear PDE. Our FONKNORIS model is able to accurately solve unseen nonlinear PDEs such as the Klein--Gordon and Sine--Gordon equations.
• Abstract（参考訳）: ニューラル演算子学習法は、無限次元演算子を近似する能力のために、科学計算において大きな注目を集めている。 しかし、その複雑さを増大させると精度が大幅に向上しなくなり、カーネルメソッドやより伝統的なダウンオーダーモデルのようなより単純なアプローチに匹敵する。 本稿では,この欠点に対処し,機械精度を実現する演算子学習パラダイムであるCHONKNORIS(Cholesky Newton--Kantorovich Neural Operator Residual Iterative System)を導入する。 非線形前方および逆PDE問題の多くはニュートン型法で解ける。 解演算子自体を回帰するのではなく、Tikhonov-regularized Newton-Kantorovich 更新に付随する楕円作用素のコレスキー因子を回帰する。 結果として得られるアンロールイテレーションは、機械精度の振る舞いが縮約写像の達成から続くニューラルアーキテクチャであり、解演算子のエンドツーエンド近似よりもはるかに低い精度を必要とする。 我々は,非線形楕円型方程式,バーガーズ方程式,非線形ダーシー流問題,カルデロン問題,逆波散乱問題,地震イメージング問題など,非線形前方および逆問題の範囲について,CHONKNORISをベンチマークした。 また、エミュレートされたコレスキー因子の精度の観点から、チョンコノリスの収束に関する理論的保証を示す。 さらに,基礎モデルであるFONKNORIS (Foundation Newton--Kantorovich Neural Operator Residual Iterative System)を導入し,新しい非線形PDEの解マップをエミュレートする。 我々の FONKNORIS モデルは、Klein-Gordon 方程式や Sine-Gordon 方程式のような、目に見えない非線形 PDE を正確に解くことができる。

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