論文の概要: Koopman neural operator as a mesh-free solver of non-linear partial differential equations
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2301.10022v2
- Date: Mon, 6 May 2024 06:55:23 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-05-08 01:45:50.027227
- Title: Koopman neural operator as a mesh-free solver of non-linear partial differential equations
- Title（参考訳）: 非線型偏微分方程式のメッシュフリー解法としてのクープマンニューラル作用素
- Authors: Wei Xiong, Xiaomeng Huang, Ziyang Zhang, Ruixuan Deng, Pei Sun, Yang Tian,
- Abstract要約: これらの課題を克服するために,新しいニューラル演算子であるクープマンニューラル演算子(KNO)を提案する。
力学系のすべての可能な観測を統括する無限次元作用素であるクープマン作用素を近似することにより、非線型PDEファミリーの解を等価に学べる。
KNOは、従来の最先端モデルと比較して顕著なアドバンテージを示している。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 15.410070455154138
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: The lacking of analytic solutions of diverse partial differential equations (PDEs) gives birth to a series of computational techniques for numerical solutions. Although numerous latest advances are accomplished in developing neural operators, a kind of neural-network-based PDE solver, these solvers become less accurate and explainable while learning long-term behaviors of non-linear PDE families. In this paper, we propose the Koopman neural operator (KNO), a new neural operator, to overcome these challenges. With the same objective of learning an infinite-dimensional mapping between Banach spaces that serves as the solution operator of the target PDE family, our approach differs from existing models by formulating a non-linear dynamic system of equation solution. By approximating the Koopman operator, an infinite-dimensional operator governing all possible observations of the dynamic system, to act on the flow mapping of the dynamic system, we can equivalently learn the solution of a non-linear PDE family by solving simple linear prediction problems. We validate the KNO in mesh-independent, long-term, and5zero-shot predictions on five representative PDEs (e.g., the Navier-Stokes equation and the Rayleigh-B{\'e}nard convection) and three real dynamic systems (e.g., global water vapor patterns and western boundary currents). In these experiments, the KNO exhibits notable advantages compared with previous state-of-the-art models, suggesting the potential of the KNO in supporting diverse science and engineering applications (e.g., PDE solving, turbulence modelling, and precipitation forecasting).
- Abstract（参考訳）: 多様な偏微分方程式 (PDE) の解析解の欠如は、数値解の一連の計算技術を生み出している。
ニューラルネットワークベースのPDE解法の一種であるニューラル演算子の開発において、多くの最新の進歩が達成されているが、非線形PDEファミリーの長期的な振る舞いを学習しながら、これらの解法はより正確で説明しやすいものとなる。
本稿では,新しいニューラル演算子であるクープマンニューラル演算子(KNO)を提案する。
対象PDEファミリーの解作用素として機能するバナッハ空間間の無限次元写像を学習するのと同じ目的により、我々のアプローチは方程式解の非線形力学系を定式化することによって既存のモデルとは異なる。
力学系のフローマッピングに作用する無限次元作用素であるクープマン作用素を近似することにより、単純な線形予測問題を解くことで非線形PDEファミリーの解を等価に学習することができる。
メッシュ非依存・長期・5ゼロショット予測では,5つの代表的なPDE(例:Navier-Stokes方程式,Rayleigh-B{\'e}nard対流)と3つの実力学系(例:大域的水蒸気パターン,西部境界電流)に対してKNOを検証した。
これらの実験では、KNOは従来の最先端モデルと比較して顕著な優位性を示し、多様な科学・工学応用(PDE解決、乱流モデリング、降水予測など)をサポートするKNOの可能性を示している。
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