論文の概要: Constant Metric Scaling in Riemannian Computation

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2601.10992v1
• Date: Fri, 16 Jan 2026 04:54:23 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-01-19 20:21:50.358901
• Title: Constant Metric Scaling in Riemannian Computation
• Title（参考訳）: リーマン計算における定距離スケーリング
• Authors: Kisung You,
• Abstract要約: これらの手法が依存する幾何学的構造を変化させることなく、定数なメートル法スケーリングをいかに導入できるかを示す。 このノートの目的は純粋に実証的であり、これらの手法が依存する幾何学的構造を変更することなく、大域的な計量スケールパラメータをどのように導入できるかを明確にすることを目的としている。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.31727619150610836
• License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/
• Abstract: Constant rescaling of a Riemannian metric appears in many computational settings, often through a global scale parameter that is introduced either explicitly or implicitly. Although this operation is elementary, its consequences are not always made clear in practice and may be confused with changes in curvature, manifold structure, or coordinate representation. In this note we provide a short, self-contained account of constant metric scaling on arbitrary Riemannian manifolds. We distinguish between quantities that change under such a scaling, including norms, distances, volume elements, and gradient magnitudes, and geometric objects that remain invariant, such as the Levi--Civita connection, geodesics, exponential and logarithmic maps, and parallel transport. We also discuss implications for Riemannian optimization, where constant metric scaling can often be interpreted as a global rescaling of step sizes rather than a modification of the underlying geometry. The goal of this note is purely expository and is intended to clarify how a global metric scale parameter can be introduced in Riemannian computation without altering the geometric structures on which these methods rely.
• Abstract（参考訳）: リーマン計量の絶え間ない再スケーリングは多くの計算条件に現れ、しばしば明示的にも暗黙的にも表される大域的スケールパラメータを通して現れる。 この演算は初等的であるが、実際の結果は常に明確ではなく、曲率、多様体構造、座標表現の変化と混同されることがある。 ここでは、任意のリーマン多様体上の定数計量スケーリングの短い自己完備な説明を提供する。 このようなスケーリングの下で変化する量(ノルム、距離、体積要素、勾配等)と、レヴィ・チヴィタ接続、測地学、指数および対数写像、平行移動のような不変な幾何学的対象とを区別する。 我々はまたリーマン最適化の意義についても論じるが、そこでは、定数計量のスケーリングは、基礎となる幾何学の修正ではなく、ステップサイズの大域的再スケーリングと解釈されることが多い。 このノートの目的は純粋に実証的であり、これらの手法が依存する幾何学的構造を変化させることなく、大域的計量スケールパラメータがリーマン計算にどのように導入できるかを明確にすることを目的としている。

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