論文の概要: Sparse RBF Networks for PDEs and nonlocal equations: function space theory, operator calculus, and training algorithms
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2601.17562v1
- Date: Sat, 24 Jan 2026 19:19:08 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-01-27 15:23:07.925045
- Title: Sparse RBF Networks for PDEs and nonlocal equations: function space theory, operator calculus, and training algorithms
- Title（参考訳）: PDEと非局所方程式のためのスパースRBFネットワーク:関数空間論、演算子計算、および訓練アルゴリズム
- Authors: Zihan Shao, Konstantin Pieper, Xiaochuan Tian,
- Abstract要約: 我々は、幅広いラジアル基底関数(RBF)のクラスに対する解空間の統一的な記述を提供する。
本稿では,カーネル構造を明示することにより,微分演算子と非局所演算子の両方の準解析的評価が可能となることを示す。
特に、二階最適化、内重訓練、ネットワーク適応性、異方性カーネルパラメータ化の役割を評価する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: This work presents a systematic analysis and extension of the sparse radial basis function network (SparseRBFnet) previously introduced for solving nonlinear partial differential equations (PDEs). Based on its adaptive-width shallow kernel network formulation, we further investigate its function-space characterization, operator evaluation, and computational algorithm. We provide a unified description of the solution space for a broad class of radial basis functions (RBFs). Under mild assumptions, this space admits a characterization as a Besov space, independent of the specific kernel choice. We further demonstrate how the explicit kernel-based structure enables quasi-analytical evaluation of both differential and nonlocal operators, including fractional Laplacians. On the computational end, we study the adaptive-width network and related three-phase training strategy through a comparison with variants concerning the modeling and algorithmic details. In particular, we assess the roles of second-order optimization, inner-weight training, network adaptivity, and anisotropic kernel parameterizations. Numerical experiments on high-order, fractional, and anisotropic PDE benchmarks illustrate the empirical insensitivity to kernel choice, as well as the resulting trade-offs between accuracy, sparsity, and computational cost. Collectively, these results consolidate and generalize the theoretical and computational framework of SparseRBFnet, supporting accurate sparse representations with efficient operator evaluation and offering theory-grounded guidance for algorithmic and modeling choices.
- Abstract（参考訳）: 本研究では、非線形偏微分方程式(PDE)を解くために以前に導入されたスパースラジアル基底関数ネットワーク(SparseRBFnet)の体系的解析と拡張を行う。
適応幅浅層カーネルネットワークの定式化に基づき,関数空間の特性,演算子評価,計算アルゴリズムについて検討する。
幅広いラジアル基底関数(RBF)のクラスに対する解空間の統一的な記述を提供する。
穏やかな仮定の下で、この空間は特定のカーネルの選択とは独立にベソフ空間として特徴づけられる。
さらに、明示的なカーネルベース構造が、分数ラプラシアンを含む微分作用素と非局所作用素の両方の準解析的評価を可能にすることを実証する。
本稿では,適応幅ネットワークと関連する3相学習戦略について,モデリングとアルゴリズムの詳細に関する変種との比較により検討する。
特に,2次最適化,内重トレーニング,ネットワーク適応性,異方性カーネルパラメータ化の役割を評価する。
高次、分数、異方性PDEベンチマークの数値実験では、カーネル選択に対する経験的不感度が示され、その結果、精度、空間性、計算コストのトレードオフが示されている。
これらの結果は、SparseRBFnetの理論的および計算的枠組みを統合し、効率的な演算子評価による正確なスパース表現をサポートし、アルゴリズムとモデリングの選択のための理論的なガイダンスを提供する。
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