論文の概要: Completeness for Prime-Dimensional Phase-Affine Circuits
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2603.06466v1
- Date: Fri, 06 Mar 2026 16:51:19 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-03-09 13:17:46.277786
- Title: Completeness for Prime-Dimensional Phase-Affine Circuits
- Title（参考訳）: 位相アフィン回路の完全性
- Authors: Colin Blake,
- Abstract要約: 量子ビットから素次元量子ビットへの CNOT 二面体画像のためのコンパクトな PROP を提案する。
我々は一様輸送規則を導出し、一意の位相アフィン正規形式を確立し、意味的平等は導出可能な等式と一致することを証明した。
これにより、CNOT-双面方程式理論の素次元、位相多項式整列の一般化が得られる。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: Equational reasoning about circuits is central in quantum software for validation, optimisation, and verification. For qubits, the CNOT-dihedral fragment supports efficient rewriting via phase polynomials and layered normal forms, yielding a complete and practically effective equational theory. In this work we generalise that CNOT-dihedral picture from qubits to prime-dimensional qudits. We present a compact PROP for reversible affine circuits over a prime field, with a strict symmetric monoidal semantics into the affine group and a Lafont-style affine normal form. We then adjoin finite-angle diagonal phase generators and organise them by polynomial degree, obtaining linear, quadratic (odd prime), and cubic (prime greater than 3) calculi. Using binomial-basis identities we derive uniform transport rules, establish unique phase-affine normal forms, and prove completeness: semantic equality coincides with derivable equality. This yields a prime-dimensional, phase-polynomial-aligned generalisation of the CNOT-dihedral equational theory.
- Abstract（参考訳）: 回路に関する等式推論は、検証、最適化、検証のための量子ソフトウェアの中心である。
量子ビットの場合、CNOT-二面体フラグメントは位相多項式と層状正規形式による効率的な書き換えをサポートし、完全かつ実用的な方程式理論をもたらす。
本研究は、CNOT-二面体像を立方体から素次元立方体へ一般化する。
素体上の可逆アフィン回路に対するコンパクトな PROP を示し、アフィン群とラファント型アフィン正規形式に厳密な対称なモノイド意味を持つ。
次に、有限角対角位相生成器に随伴し、多項式次数でそれらを整理し、線型、二次(負素数)、立方体(素数 3 より大きい)を得る。
二項基底恒等式を用いて一様輸送規則を導出し、一意の位相アフィン正規形式を確立し、完全性を証明する:意味的等式は導出可能な等式と一致する。
これにより、CNOT-双面方程式理論の素次元、位相多項式整列の一般化が得られる。
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