論文の概要: Partial Differential Equations in the Age of Machine Learning: A Critical Synthesis of Classical, Machine Learning, and Hybrid Methods

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2603.07655v1
• Date: Sun, 08 Mar 2026 14:38:04 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-03-10 15:13:15.005739
• Title: Partial Differential Equations in the Age of Machine Learning: A Critical Synthesis of Classical, Machine Learning, and Hybrid Methods
• Title（参考訳）: 機械学習の時代における部分微分方程式:古典的, 機械学習, ハイブリッドな手法の批判的合成
• Authors: Mohammad Nooraiepour, Jakub Wiktor Both, Teeratorn Kadeethum, Saeid Sadeghnejad,
• Abstract要約: 偏微分方程式は、科学スケールの全範囲にわたって物理現象を制御している。 本稿では,PDEソリューション,数値手法,機械学習アプローチの2つのパラダイムについて検討する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/
• Abstract: Partial differential equations (PDEs) govern physical phenomena across the full range of scientific scales, yet their computational solution remains one of the defining challenges of modern science. This critical review examines two mature but epistemologically distinct paradigms for PDE solution, classical numerical methods and machine learning approaches, through a unified evaluative framework organized around six fundamental computational challenges. Classical methods are assessed for their structure-preserving properties, rigorous convergence theory, and scalable solver design; their persistent limitations in high-dimensional and geometrically complex settings are characterized precisely. Machine learning approaches are introduced under a taxonomy organized by the degree to which physical knowledge is incorporated and subjected to the same critical evaluation applied to classical methods. Classical methods are deductive -- errors are bounded by quantities derivable from PDE structure and discretization parameters -- while machine learning methods are inductive -- accuracy depends on statistical proximity to the training distribution. This epistemological distinction is the primary criterion governing responsible method selection. We identify three genuine complementarities between the paradigms and develop principles for hybrid design, including a framework for the structure inheritance problem that addresses when classical guarantees propagate through hybrid couplings, and an error budget decomposition that separates discretization, neural approximation, and coupling contributions. We further assess emerging frontiers, including foundation models, differentiable programming, quantum algorithms, and exascale co-design, evaluating each against the structural constraints that determine whether current barriers are fundamental or contingent on engineering progress.
• Abstract（参考訳）: 偏微分方程式 (Partial differential equation, PDEs) は、あらゆる科学スケールで物理現象を制御しているが、その計算解は現代科学における決定的な課題の1つである。 この批判的レビューでは、PDEソリューション、古典的数値法、機械学習アプローチの2つの成熟しているが、認識学的に異なるパラダイムを、6つの基本的な計算課題を中心に構成された統一的評価フレームワークを用いて検討する。 古典的手法は, 構造保存特性, 厳密な収束理論, スケーラブルなソルバ設計により評価される。 機械学習アプローチは、物理知識が取り入れられ、古典的手法に適用されるのと同じ批判的評価を受ける度合いによって組織された分類の下で導入される。 古典的手法は帰納的であり、誤差はPDE構造と離散化パラメータから導出される量によって境界づけられるが、機械学習手法は帰納的であり、精度は訓練分布への統計的近接に依存する。 この認識学的区別は、責任ある方法の選択を管理する主要な基準である。 本稿では,ハイブリッド設計のパラダイムと,古典的保証がハイブリッド結合を通じて伝播する場合に対処する構造継承問題の枠組みと,離散化,神経近似,結合貢献を分離するエラー予算分解という,ハイブリッド設計の原則の真に相補的な3点を同定する。 さらに、基礎モデル、微分可能プログラミング、量子アルゴリズム、エクサスケール共設計を含む新興フロンティアを評価し、現在の障壁がエンジニアリングの進歩に根ざしているかどうかを決定する構造的制約に対して、それぞれを評価する。

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