論文の概要: The Algebraic Landscape of Kochen-Specker Sets in Dimension Three

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2603.16988v1
• Date: Tue, 17 Mar 2026 17:31:59 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-03-19 18:32:57.325032
• Title: The Algebraic Landscape of Kochen-Specker Sets in Dimension Three
• Title（参考訳）: 3次元におけるコチェン・スペクターセットの代数的景観
• Authors: Michael Kernaghan,
• Abstract要約: 2シンボル座標アルファベットの3次元ヒルベルト空間におけるKochen-Speckerの不色性に関する計算的調査を示す。 テストされた全てのアルファベットにおいて、KS集合は、$x$が2つのキャンセル機構のうちの1つをサポートする場合にのみ生じる。 2つの新しいKSグラフ型を出力する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: We present a computational survey of Kochen-Specker (KS) uncolorability in three-dimensional Hilbert space across two-symbol coordinate alphabets $\mathcal{A} = \{0, \pm 1, \pm x\}$ drawn from quadratic, cyclotomic, and golden-ratio number fields. In every tested alphabet, KS sets arise only when $x$ supports one of two cancellation mechanisms: modulus-2 cancellation (the generator satisfies $|x|^2 = 2$, as in $|\sqrt{2}|^2=2$, $|\sqrt{-2}|^2=2$, or $|α|^2=2$; the integer case $1+1=2$ is the degenerate additive instance) or phase cancellation (a vanishing sum of unit-modulus terms, as in $1+ω+ω^2=0$). Alphabets whose generators have $|x|^2 \geq 3$ and are not roots of unity produce orthogonal triples but not KS-uncolorability in our survey. This empirical pattern explains why constructions cluster into six discrete algebraic islands among the tested fields. Two yield potentially new KS graph types: the Heegner-7 ring $\mathbb{Z}[(1+\sqrt{-7})/2]$ (43 vectors) and the golden ratio field $\mathbb{Q}(\varphi)$ (52 vectors, revealed only by cross-product completion); $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ provides a new algebraic realization of a known Peres-type graph. Using SAT-based bipartite KS-uncolorability, we verify and extend the input counts of Trandafir and Cabello for bipartite perfect quantum strategies across all six islands. Whether the two-mechanism pattern extends to all number fields remains an open question.
• Abstract（参考訳）: 2つの記号座標アルファベット$\mathcal{A} = \{0, \pm 1, \pm x\}$の3次元ヒルベルト空間におけるKochen-Specker (KS)の不色性に関する計算的調査を示す。 すべてのテストされたアルファベットにおいて、KS集合は、$x$が2つのキャンセル機構のうちの1つをサポートする場合にのみ現れる: modulus-2 のキャンセル(生成元は $|x|^2 = 2$, as in $|\sqrt{2}|^2=2$, $|\sqrt{-2}|^2=2$, or $|α|^2=2$; in integer case $1+1=2$ is the degenerate additive instance)または相キャンセル($+ω+ω^2=0$のような単位モジュラー項の消滅和)。 生成元が $|x|^2 \geq 3$ であり、ユニティの根ではないAlphabet は直交三重項を生成するが、我々の調査ではKS-不色性は生じない。 この経験的パターンは、なぜ構造が試験場の中で6つの離散代数的島々に群がるのかを説明する。 Heegner-7環 $\mathbb{Z}[(1+\sqrt{-7})/2]$ (43 ベクトル) と黄金比場 $\mathbb{Q}(\varphi)$ (52 ベクトル) は、クロス積完備化によってのみ明らかにされる; $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ は、既知のペレス型グラフの新しい代数的実現を提供する。 SATベースの二部分極KS不変色性を用いて、6つの島にまたがる完全量子戦略において、トランダファールとカベロの入力数を検証・拡張する。 2-力学パターンがすべての数体に広がるかどうかは、まだ未解決の問題である。

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