論文の概要: Verifiable Error Bounds for Physics-Informed Neural Network Solutions of Lyapunov and Hamilton-Jacobi-Bellman Equations

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2603.19545v1
• Date: Fri, 20 Mar 2026 00:58:51 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-03-23 19:48:38.929546
• Title: Verifiable Error Bounds for Physics-Informed Neural Network Solutions of Lyapunov and Hamilton-Jacobi-Bellman Equations
• Title（参考訳）: Lyapunov と Hamilton-Jacobi-Bellman 方程式の物理インフォームドニューラルネットワーク解に対する検証可能な誤差境界
• Authors: Jun Liu,
• Abstract要約: 本稿では、リアプノフ方程式とHJB方程式の近似解に対する検証可能な誤差境界を開発する。 Lyapunov と HJB PDE の双方に対して、検証可能な残差境界が真の解に関して相対誤差境界をもたらすことを示す。 片側残差は、近似自体が有効なリャプノフを定義するか、リャプノフ函数を制御することを既に示していることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 7.496694070699515
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Many core problems in nonlinear systems analysis and control can be recast as solving partial differential equations (PDEs) such as Lyapunov and Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equations. Physics-informed neural networks (PINNs) have emerged as a promising mesh-free approach for approximating their solutions, but in most existing works there is no rigorous guarantee that a small PDE residual implies a small solution error. This paper develops verifiable error bounds for approximate solutions of Lyapunov and HJB equations, with particular emphasis on PINN-based approximations. For both the Lyapunov and HJB PDEs, we show that a verifiable residual bound yields relative error bounds with respect to the true solutions as well as computable a posteriori estimates in terms of the approximate solutions. For the HJB equation, this also yields certified upper and lower bounds on the optimal value function on compact sublevel sets and quantifies the optimality gap of the induced feedback policy. We further show that one-sided residual bounds already imply that the approximation itself defines a valid Lyapunov or control Lyapunov function. We illustrate the results with numerical examples.
• Abstract（参考訳）: 非線形系解析と制御における多くのコア問題は、リアプノフやハミルトン・ヤコビ・ベルマン(HJB)方程式のような偏微分方程式(PDE)を解くものとして再キャストすることができる。 物理インフォームドニューラルネットワーク(PINN)は、彼らのソリューションを近似するための有望なメッシュフリーアプローチとして登場したが、既存のほとんどの研究では、小さなPDE残差が小さな解誤差を意味するという厳密な保証はない。 本稿では, Lyapunov 方程式と HJB 方程式の近似解に対する検証可能な誤差境界, 特に PINN に基づく近似について述べる。 Lyapunov と HJB PDE の双方に対して、検証可能な残差境界は、真の解に対する相対誤差境界と、近似解の観点から計算可能な後続推定が得られることを示す。 HJB方程式はまた、コンパクトなサブレベル集合上の最適値関数の証明された上と下の境界を導き、誘導されたフィードバックポリシーの最適性ギャップを定量化する。 さらに、一方の剰余境界は、近似自体が有効なリャプノフを定義するか、リャプノフ函数を制御することを既に示していることを示す。 この結果を数値的な例で説明する。

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