論文の概要: Error analysis for physics informed neural networks (PINNs) approximating Kolmogorov PDEs

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2106.14473v1
• Date: Mon, 28 Jun 2021 08:37:56 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2021-06-29 17:39:53.938961
• Title: Error analysis for physics informed neural networks (PINNs) approximating Kolmogorov PDEs
• Title（参考訳）: Kolmogorov PDEを近似した物理情報ニューラルネットワーク(PINN)の誤差解析
• Authors: Tim De Ryck and Siddhartha Mishra
• Abstract要約: PINNによる大規模な放物型PDEの解の近似における誤差の厳密な境界を導出する。 PINN残差(一般化誤差)を所望の程度小さくできるニューラルネットワークを構築する。 これらの結果から,Kolmogorov PDEの近似におけるPINNの総合的誤差解析が可能となった。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Physics informed neural networks approximate solutions of PDEs by minimizing pointwise residuals. We derive rigorous bounds on the error, incurred by PINNs in approximating the solutions of a large class of linear parabolic PDEs, namely Kolmogorov equations that include the heat equation and Black-Scholes equation of option pricing, as examples. We construct neural networks, whose PINN residual (generalization error) can be made as small as desired. We also prove that the total $L^2$-error can be bounded by the generalization error, which in turn is bounded in terms of the training error, provided that a sufficient number of randomly chosen training (collocation) points is used. Moreover, we prove that the size of the PINNs and the number of training samples only grow polynomially with the underlying dimension, enabling PINNs to overcome the curse of dimensionality in this context. These results enable us to provide a comprehensive error analysis for PINNs in approximating Kolmogorov PDEs.
• Abstract（参考訳）: 物理情報によるPDEの近似解の解は、ポイントワイド残差を最小化する。 この誤差の厳密な境界はPINNによって導かれ、例えば、熱方程式とオプション価格のブラック・スコルズ方程式を含むコルモゴロフ方程式(英語版)の大規模な線形放物型PDEの解を近似する。 我々は,pinn残差(一般化誤差)を必要に応じて小さくすることができるニューラルネットワークを構築する。 また,合計$l^2$-error が一般化誤差によって境界化可能であることを証明した。 さらに,ピンの大きさとトレーニングサンプルの数は,基礎次元と多項式的にのみ増加することを証明し,ピンがこの文脈で次元の呪いを克服できることを示した。 これらの結果から,Kolmogorov PDEの近似におけるPINNの総合的誤差解析が可能となった。

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