論文の概要: Quantum algorithms for Young measures: applications to nonlinear partial differential equations
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2604.11825v1
- Date: Sat, 11 Apr 2026 11:37:24 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-04-15 19:11:32.005531
- Title: Quantum algorithms for Young measures: applications to nonlinear partial differential equations
- Title（参考訳）: 若い測度に対する量子アルゴリズム:非線形偏微分方程式への応用
- Authors: Shi Jin, Nana Liu, Maria Lukacova-Medvidova, Yuhuan Yuan,
- Abstract要約: 量子線形プログラミングアルゴリズムは古典的アルゴリズムと比較してコストを削減できることを示す。
散逸弱解に関心のある問題に対しては、QLPアルゴリズムは古典的解法よりも優位性がないことを示す。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 32.729650335345625
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: Many nonlinear PDEs have singular or oscillatory solutions or may exhibit physical instabilities or uncertainties. This requires a suitable concept of physically relevant generalized solutions. Dissipative measure-valued solutions have been an effective analytical tool to characterize PDE behavior in such singular regimes. They have also been used to characterize limits of standard numerical schemes on classical computers. The measure-valued formulation of a nonlinear PDE yields an optimization problem with a linear cost functional and linear constraints, which can be formulated as a linear programming problem. However, this linear programming problem can suffer from the curse of dimensionality. In this article, we propose solving it using quantum linear programming (QLP) algorithms and discuss whether this approach can reduce costs compared to classical algorithms. We show that some QLP algorithms, such as the quantum central path algorithm, have up to polynomial advantage over the classical interior point method. For problems where one is interested in the dissipative weak solution, namely the expected values of the Young measure, we show that the QLP algorithms offer no advantage over direct classical solvers. Moreover, for random PDEs, there can be up to polynomial advantage in obtaining the Young measure over direct classical PDE solvers. This is a significant advantage over standard PDE solvers, since the Young measure provides a more detailed description of the solution. We also propose some open questions for future development in this direction.
- Abstract（参考訳）: 多くの非線形PDEは特異あるいは振動解を持ち、物理的不安定性や不確実性を示す。
これは、物理的に関係のある一般化された解の適切な概念を必要とする。
散逸測定値の解は、そのような特異な状態におけるPDEの挙動を特徴づける効果的な分析ツールである。
また、古典コンピュータにおける標準的な数値スキームの限界を特徴づけるためにも使われている。
非線形PDEの測度値の定式化は、線形コスト関数と線形制約との最適化問題をもたらし、線形プログラミング問題として定式化することができる。
しかし、この線形プログラミング問題は次元の呪いに悩まされることがある。
本稿では、量子線形プログラミング(QLP)アルゴリズムを用いてこの問題を解決することを提案し、この手法が古典的アルゴリズムと比較してコストを削減できるかどうかについて議論する。
量子中心経路アルゴリズムのようないくつかのQLPアルゴリズムは、古典的なインテリアポイント法よりも多項式的優位性を持つことを示す。
散逸弱解、すなわちヤング測度の期待値に興味のある問題に対して、QLPアルゴリズムは古典的解法よりも優位性がないことを示す。
さらに、ランダムな PDE に対して、直古典的な PDE ソルバよりもヤング測度を得る際には、多項式の優位性がある。
ヤング測度は解のより詳細な記述を提供するので、標準的なPDE解法よりも大きな利点である。
我々はまた、この方向への今後の発展に向けて、いくつかのオープンな質問を提案します。
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