論文の概要: Variational Quantum Framework for Nonlinear PDE Constrained Optimization Using Carleman Linearization

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2410.13688v1
• Date: Thu, 17 Oct 2024 15:51:41 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2024-10-18 13:19:11.233707
• Title: Variational Quantum Framework for Nonlinear PDE Constrained Optimization Using Carleman Linearization
• Title（参考訳）: カルマン線形化を用いた非線形PDE制約最適化のための変分量子フレームワーク
• Authors: Abeynaya Gnanasekaran, Amit Surana, Hongyu Zhu,
• Abstract要約: 非線形偏微分方程式(PDE)制約最適化問題に対する新しい変分量子フレームワークを提案する。 我々はカールマン線形化(CL)を用いて、通常の微分方程式の系をODEの無限だが線型な系に変換する。 計算誤差と複雑性の詳細な解析を行い、適切な仮定の下では、提案するフレームワークが古典的手法よりも潜在的に有利であることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.8704964543257243
• License:
• Abstract: We present a novel variational quantum framework for nonlinear partial differential equation (PDE) constrained optimization problems. The proposed work extends the recently introduced bi-level variational quantum PDE constrained optimization (BVQPCO) framework for linear PDE to a nonlinear setting by leveraging Carleman linearization (CL). CL framework allows one to transform a system of polynomial ordinary differential equations (ODE), i,e. ODE with polynomial vector field, into an system of infinite but linear system of ODE. For instance, such polynomial ODEs naturally arise when the PDE are semi-discretized in the spatial dimensions. By truncating the CL system to a finite order, one obtains a finite system of linear ODE to which the linear BVQPCO framework can be applied. In particular, the finite system of linear ODE is discretized in time and embedded as a system of linear equations. The variational quantum linear solver (VQLS) is used to solve the linear system for given optimization parameters, and evaluate the design cost/objective function, and a classical black box optimizer is used to select next set of parameter values based on this evaluated cost. We present detailed computational error and complexity analysis and prove that under suitable assumptions, our proposed framework can provide potential advantage over classical techniques. We implement our framework using the PennyLane library and apply it to solve inverse Burgers' problem. We also explore an alternative tensor product decomposition which exploits the sparsity/structure of linear system arising from PDE discretization to facilitate the computation of VQLS cost functions.
• Abstract（参考訳）: 非線形偏微分方程式(PDE)制約最適化問題に対する新しい変分量子フレームワークを提案する。 提案手法は、最近導入された線形PDEのための二値変動量子PDE制約最適化(BVQPCO)フレームワークを、カールマン線形化(CL)を利用して非線形設定に拡張する。 CLフレームワークは、多項式常微分方程式(ODE)、すなわち、系の変換を可能にする。 ODE は多項式ベクトル場を持ち、ODE の無限だが線型な系である。 例えば、そのような多項式 ODE は空間次元において PDE が半離散化されるときに自然に生じる。 CL系を有限順序に切り離すことにより、線形 BVQPCO フレームワークを適用可能な線形ODE の有限系を得る。 特に、線形ODEの有限系は時間的に離散化され、線形方程式の系として埋め込まれる。 変分量子線形解法(VQLS)は、与えられた最適化パラメータの線形系を解き、設計コスト/対象関数を評価し、古典的ブラックボックスオプティマイザを用いて、この評価コストに基づいて次のパラメータセットを選択する。 計算誤差と複雑性の詳細な解析を行い、適切な仮定の下では、提案するフレームワークが古典的手法よりも潜在的に有利であることを示す。 我々はPennyLaneライブラリを使ってフレームワークを実装し、それを逆バーガースの問題を解決するために適用する。 VQLSコスト関数の計算を容易にするために,PDEの離散化に起因する線形システムの空間/構造を利用したテンソル積分解法についても検討する。

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