論文の概要: Singularity Formation: Synergy in Theoretical, Numerical and Machine Learning Approaches

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2604.16842v1
• Date: Sat, 18 Apr 2026 05:24:35 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-04-21 21:52:52.197657
• Title: Singularity Formation: Synergy in Theoretical, Numerical and Machine Learning Approaches
• Title（参考訳）: 特異性の形成:理論的・数値的・機械学習的アプローチにおける相乗効果
• Authors: Yixuan Wang,
• Abstract要約: ナヴィエ・ストークス方程式(NSE)の形成は、クレイ賞の7つの問題のうちの1つであることで有名である。 本稿では,ペンと紙の特異点を単純化し,より単純な特異なPDEに対して体系化する頑健な分析フレームワークを提案する。 機械学習手法は,潜在的な爆発解を識別し,特徴付ける能力を大幅に向上させることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 5.525024500312207
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: This thesis develops numerical and theoretical approaches for understanding and analyzing singularity formation in Partial Differential Equations (PDEs). The singularity formation in the Navier-Stokes Equation (NSE) is famously challenging as one of the seven Clay Prize problems. Unlike simpler equations such as the Nonlinear Heat (NLH) or Keller-Segel (KS) equations, where formal asymptotics near blowup are better understood, the intrinsic complexity of NSE makes quantitative analytical treatment difficult, if not impossible, without numerical guidance. Building on numerical insights, we introduce a robust analytical framework to simplify and systematize pen-and-paper proofs for simpler singular PDEs. We present a novel approach based on enforcing vanishing modulation conditions for perturbations around approximate blowup profiles, complemented by singularly weighted energy estimates. We demonstrate the efficacy of our method on PDEs with complicated asymptotics, such as NLH and the Complex Ginzburg-Landau (CGL) equation, and address the open problem of singularity formation in the 3D KS equation with logistic damping. We develop and refine numerical approaches that facilitate deeper insights into singularity formation. We demonstrate that machine learning methods significantly enhance our capability to identify and characterize potential blowup solutions with high precision. We improve on existing Physics-Informed Neural Network (PINN) and Neural Operator (NO) frameworks. Moreover, we present a novel machine learning paradigm, the Kolmogorov-Arnold Network (KAN) architecture, whose interpretability and excellent scaling properties are achieved through learnable nonlinearities.
• Abstract（参考訳）: この論文は、部分微分方程式(PDE)における特異点の形成を理解し解析するための数値的および理論的アプローチを発展させている。 ナヴィエ・ストークス方程式(NSE)の特異点形成は、クレイ賞の7つの問題のうちの1つである。 非線形熱 (NLH) やケラー・セゲル (KS) 方程式のような単純な方程式とは異なり、NSEの内在的な複雑性は数値的なガイダンスなしに定量的な解析処理を困難にしている。 数値的な洞察に基づいて、より単純な特異なPDEに対するペンと紙の証明を簡素化し、体系化する頑健な分析フレームワークを導入する。 本稿では,一意の重み付きエネルギー推定によって補完される,近似的な爆発プロファイルのまわりの摂動に対する減衰変調条件の強制に基づく新しいアプローチを提案する。 NLHや複素ギンズバーグ・ランダウ方程式(CGL)のような複雑な漸近性を持つPDEに対する本手法の有効性を実証し,ロジスティック減衰を伴う3次元KS方程式における特異点形成の開問題に対処する。 我々は特異点形成の深い洞察を促進する数値的アプローチを開発し、洗練する。 機械学習手法は,高い精度で爆発解を識別し,特徴付ける能力を大幅に向上させることを実証した。 我々は既存の物理インフォームドニューラルネットワーク(PINN)とニューラルオペレータ(NO)フレームワークを改善した。 さらに,学習可能な非線形性によって解釈性と優れたスケーリング特性が得られる新しい機械学習パラダイムであるKANアーキテクチャを提案する。

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