論文の概要: Primitive Recursion without Composition: Dynamical Characterizations, from Neural Networks to Polynomial ODEs

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2604.24356v1
• Date: Mon, 27 Apr 2026 11:48:49 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-04-28 17:12:07.963223
• Title: Primitive Recursion without Composition: Dynamical Characterizations, from Neural Networks to Polynomial ODEs
• Title（参考訳）: 構成のない原始的再帰:ニューラルネットワークから多項式ODEへの動的特徴
• Abstract要約: 実数値力学により進化した実数値状態について検討する。 これら3つの状態は、実数値力学によって進化した連続体-実数値状態に作用する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: What do recurrent neural networks, polynomial ODEs, and discrete polynomial maps each bring to computation, and what do they lack? All three operate over the continuum--real-valued states evolved by real-valued dynamics--even when the target functions are discrete. We study them through primitive recursion. We prove that primitive recursion admits equivalent characterizations in all three frameworks: bounded iteration of a fixed recurrent ReLU network, robust computation by a fixed polynomial ODE, and iteration of a fixed polynomial map with an externally supplied step-size parameter. In each, the time bound is itself primitive recursive, composition emerges from the dynamics rather than as a closure rule, and inputs are raw integer vectors. Every primitive recursive function is first compiled into bounded iteration of a single threshold-affine normal form, then interpreted as a ReLU computation and as a polynomial ODE. The equivalences expose a structural asymmetry: no fixed polynomial map can round uniformly to the nearest integer or realize exact phase selection--operations polynomial ODEs perform robustly via continuous-time flow. Each formalism compensates for a limitation the others lack: the ReLU gate provides exact branching, continuous time provides autonomous rounding and control, and the step-size parameter recovers both at the cost of discretization precision. This opens dynamical characterizations of subrecursive hierarchies and complexity classes by restricting time bounds, polynomial degrees, or discretization resources within one framework. More broadly, these models do not compute by composing subroutines: they shape the trajectory of a dynamical system through clocks, phase selectors, and error correction built into the dynamics. This differs structurally from symbolic programming, and our theorem gives a precise framework to study the difference.
• Abstract（参考訳）: リカレントニューラルネットワーク、多項式ODE、離散多項式マップはそれぞれ、計算に何をもたらすのか。 3つとも連続体-実数値状態は実数値力学によって進化し、対象関数が離散である場合でも作用する。 私たちは原始的な再帰を通じてそれらを研究する。 プリミティブ再帰は、固定再帰ReLUネットワークの有界反復、固定多項式ODEによるロバストな計算、および外部に供給されたステップサイズパラメータを持つ固定多項式マップの繰り返しである。 それぞれの時間境界は原始再帰的であり、構成は閉包規則ではなく力学から現れ、入力は生の整数ベクトルである。 すべての原始再帰関数は、まず1つの閾値-アフィン正規形式の有界反復にコンパイルされ、次にReLU計算と多項式ODEとして解釈される。 固定多項式写像は最も近い整数に均一に回転したり、正確な位相選択を実現することができる。 ReLUゲートは正確な分岐を提供し、連続時間は自律的な丸めと制御を提供し、ステップサイズパラメータはどちらも離散化精度の犠牲で回復する。 これは、時間境界、多項式次数、あるいは1つのフレームワーク内での離散化資源を制限することによって、部分再帰的階層と複雑性クラスを動的に特徴づける。 より広義には、これらのモデルはサブルーチンを構成することでは計算されない: クロック、位相セレクタ、そして動的に組み込まれたエラー補正によって力学系の軌道を形作る。 これは記号プログラミングと構造的に異なり、我々の定理は違いを研究するための正確な枠組みを与える。

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