論文の概要: Domain-Decomposed Randomized Neural Networks for Partial Differential Equations in Unbounded Domains
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2606.31342v1
- Date: Tue, 30 Jun 2026 08:41:54 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-07-01 18:27:19.143539
- Title: Domain-Decomposed Randomized Neural Networks for Partial Differential Equations in Unbounded Domains
- Title（参考訳）: 非有界領域の部分微分方程式に対する領域分解ランダム化ニューラルネットワーク
- Abstract要約: 非有界領域上の偏微分方程式は、外界領域は過剰なトラニケート誤差を伴わずに表わさなければならないため、困難である。
このような問題に対するドメイン分割型ランダム化ニューラルネットワークフレームワークを提案する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 5.423324761643612
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Partial differential equations on unbounded domains are challenging because the exterior region must be represented without excessive truncation error. Truncation-based methods often require problem-dependent artificial boundary conditions, while global spectral bases may be inefficient for localized structures, irregular geometries, or solutions with different near-field and far-field behaviors. We propose a domain-decomposed randomized neural network framework for such problems. Different randomized subnetworks are assigned to different spatial regimes: a near-field subnetwork captures local and geometric features, whereas a far-field subnetwork represents exterior decay. The subnetworks are coupled by boundary and interface conditions, and only the output-layer coefficients are solved from linear least-squares systems arising from Petrov--Galerkin or collocation formulations. We develop a Petrov--Galerkin method for semi-unbounded elliptic problems and a collocation method for fully unbounded, perforated, and time-dependent problems. A conditional bounded-parameter approximation result is proved in a broken Sobolev norm, together with an error decomposition covering approximation, empirical-consistency/quadrature, and least-squares optimization errors. Numerical experiments for Poisson and time-dependent Schrödinger equations demonstrate the accuracy and flexibility of the proposed method.
- Abstract（参考訳）: 非有界領域上の偏微分方程式は、外界領域は過剰なトラニケート誤差を伴わずに表わさなければならないため、困難である。
トランケーションに基づく手法は、しばしば問題に依存した人工境界条件を必要とするが、大域的なスペクトル基底は、局所構造、不規則な幾何学、あるいは異なる近接場と遠距離の挙動を持つ解に対して非効率である。
このような問題に対するドメイン分割型ランダム化ニューラルネットワークフレームワークを提案する。
近接場サブネットは局所的および幾何学的特徴を捉え、遠方体サブネットは外乱を表す。
サブネットは境界条件と界面条件で結合し,ペトロフ-ガレルキンあるいはコロケーションの定式化による線形最小二乗系からのみ出力層係数を解き,半非有界楕円問題に対するペトロフ-ガレルキン法と完全非有界,穿孔,時間依存問題に対するコロケーション法を開発した。
条件付き境界パラメータ近似結果は、近似、経験的一貫性/四分法、最小二乗最適化誤差を含む誤差分解とともに、壊れたソボレフノルムで証明される。
ポアソン方程式と時間依存シュレーディンガー方程式の数値実験は、提案手法の精度と柔軟性を実証する。
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