論文の概要: MetaColloc: Optimization-Free PDE Solving via Meta-Learned Basis Functions

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2605.12368v1
• Date: Tue, 12 May 2026 16:36:12 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-05-13 21:48:57.019051
• Title: MetaColloc: Optimization-Free PDE Solving via Meta-Learned Basis Functions
• Title（参考訳）: MetaColloc: メタラーニング基底関数による最適化フリーPDE解法
• Authors: Zichuan Yang,
• Abstract要約: 機械学習で偏微分方程式を解くには、すべての新しい方程式に対して新しいニューラルネットワークをトレーニングする必要がある。 最適化フリーでデータフリーなフレームワークであるMetaCollocを導入し、このボトルネックを完全に取り除きます。 非線型PDEに対して、高速二次収束を達成するためにニュートン・ラフソン法を適用する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/
• Abstract: Solving partial differential equations (PDEs) with machine learning typically requires training a new neural network for every new equation. This optimization is slow. We introduce MetaColloc. It is an optimization-free and data-free framework that removes this bottleneck completely. We decouple basis discovery from the solving process. We meta-train a dual-branch neural network on diverse Gaussian Random Fields. This offline process creates a universal dictionary of neural basis functions. At test time, we freeze the network. We solve the PDE by assembling a collocation matrix. We find the solution through a single linear least squares step. For non-linear PDEs, we apply the Newton-Raphson method to achieve fast quadratic convergence. Our experiments across six 2D and 3D PDEs show massive improvements. MetaColloc reaches state-of-the-art accuracy on smooth and non-linear problems. It also reduces test-time computation by several orders of magnitude. Finally, we provide a detailed frequency sweep analysis. This analysis reveals a critical mismatch between function approximation and operator stability at extremely high frequencies. This profound finding opens a clear path toward future operator-aware meta-learning.
• Abstract（参考訳）: 機械学習で偏微分方程式(PDE)を解くには、通常、新しい方程式ごとに新しいニューラルネットワークをトレーニングする必要がある。 この最適化は遅いです。 MetaCollocを紹介します。 最適化不要でデータフリーなフレームワークで、このボトルネックを完全に取り除きます。 基礎発見と解法を分離する。 多様なガウス的ランダムフィールド上の二分岐ニューラルネットワークをメタトレーニングする。 このオフラインプロセスは、神経基底関数の普遍辞書を生成する。 テスト時にはネットワークを凍結します。 我々は、コロケーション行列を組み立てることでPDEを解決する。 解は1つの線型最小二乗のステップから得られる。 非線型PDEに対して、高速二次収束を達成するためにニュートン・ラフソン法を適用する。 6つの2次元PDEおよび3次元PDEに対する実験により,大幅な改善が得られた。 MetaCollocはスムーズで非線形な問題に対して最先端の精度に達する。 また、テスト時間計算を桁違いに削減する。 最後に、周波数スイープ解析について述べる。 この分析により,関数近似と演算子安定性の極めて高い周波数での致命的なミスマッチが明らかになった。 この深い発見は、未来のオペレータ対応メタ学習への明確な道を開く。

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