論文の概要: Physics-Informed Residuals for Adaptive Mesh Refinement in Finite-Difference PDE Solvers

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2606.02475v1
• Date: Mon, 01 Jun 2026 16:47:21 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-06-02 21:34:32.509662
• Title: Physics-Informed Residuals for Adaptive Mesh Refinement in Finite-Difference PDE Solvers
• Title（参考訳）: 有限差分法PDEにおける適応メッシュ微細化のための物理インフォームド残差
• Authors: Henry Kasumba, Ronald Katende,
• Abstract要約: 本稿では,物理インフォームドニューラルネットワーク(PINN)を最終解法ではなく,適応メッシュ改良のためのオフグリッド残差プローブとして用いるハイブリッド戦略について検討する。 PINN残基はドメイン上でサンプリングされ、セルワイズインジケータに変換され、最終近似が有限差分ソルバによって計算される前に精製を誘導するために使用される。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Classical finite-difference solvers remain reliable tools for partial differential equations, but their efficiency depends on where mesh resolution is placed. Uniform refinement can waste degrees of freedom when solution difficulty is localised near sharp gradients, fronts, oscillations, or constraint-sensitive regions. This paper studies a hybrid strategy in which a physics-informed neural network (PINN) is used not as the final solver, but as an off-grid residual probe for adaptive mesh refinement. The PINN residual is sampled over the domain, converted into cellwise indicators, and used to guide refinement before the final approximation is computed by a finite-difference solver. The method is evaluated on three benchmarks. The main full-solver validation uses the one-dimensional viscous Burgers equation with a nonuniform finite-difference solve on the adapted meshes. PINN-threshold refinement attains final relative $L^2$ error $0.021067$ with $60$ degrees of freedom, compared with $0.022617$ for uniform refinement with $192$ degrees of freedom. At matched mesh size, PINN-threshold reduces the error by about $67.5\%$. PINN-D"orfler refinement gives similar performance, with error $0.021264$ using $58$ degrees of freedom. A gradient indicator remains slightly more accurate, so the result supports usefulness rather than universal superiority. Manufactured 2D and 3D proxy tests, based on a nonlinear Schr"odinger equation and an incompressible Navier--Stokes system, show that PINN residuals can organise structured refinement and improve over random refinement, although they do not consistently outperform gradient or uniform baselines. The results support PINN-guided AMR as a residual-indicator strategy for transferring physics-informed diagnostic information into finite-difference mesh adaptation while preserving the classical solver as the final approximation engine.
• Abstract（参考訳）: 古典的な有限差分解法は偏微分方程式の信頼性を保ったままであるが、その効率はメッシュ分解の場所に依存する。 均一な改善は、解の難易度が急勾配、正面、振動、あるいは制約に敏感な領域の近くで局所化されるときに自由度を無駄にする可能性がある。 本稿では,物理インフォームドニューラルネットワーク(PINN)を最終解法ではなく,適応メッシュ改良のためのオフグリッド残差プローブとして用いるハイブリッド戦略について検討する。 PINN残基はドメイン上でサンプリングされ、セルワイズインジケータに変換され、最終近似が有限差分ソルバによって計算される前に精製を誘導するために使用される。 この方法は3つのベンチマークで評価される。 主完全解法検証は、適応メッシュ上の非一様有限差分解を持つ一次元粘性バーガーズ方程式を用いる。 PINN-thresholdリファインメントは、最終相対的な$L^2$エラー$0.021067$、60$自由度$0.022617$、均一リファインメント$0.022617$、自由度$92$となる。 一致するメッシュサイズでは、PINN-thresholdはエラーを約67.5\%$に削減する。 PINN-D "orfler refinement" は、誤差が0.021264$ で、自由度が 58$ である。勾配インジケータは、より正確であり、普遍的な優越性よりも有用性をサポートする。非線形シュリンガー方程式と非圧縮性ナビエ-ストークス系に基づく2Dおよび3Dプロキシテストは、PINN残差が構造的洗練を組織化し、ランダムリファインメントよりも改善できることを示している。 その結果,古典的解法を最終近似エンジンとして保存しつつ,物理インフォームド診断情報を有限差分メッシュ適応に変換するための残留指標としてPINN誘導型AMRが支持された。

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