論文の概要: The Right Measure for Physics-Constrained Generation: A Co-Area Correction for Posterior-Consistent PDE Inverse Problems

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2606.04804v2
• Date: Thu, 04 Jun 2026 07:47:15 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-06-05 19:21:33.309881
• Title: The Right Measure for Physics-Constrained Generation: A Co-Area Correction for Posterior-Consistent PDE Inverse Problems
• Title（参考訳）: 物理制約生成のための正しい尺度:後続PDE逆問題に対する共領域補正
• Authors: Jian Xu, Delu Zeng, John Paisley, Qibin Zhao,
• Abstract要約: 生成モデルは、偏微分方程式(PDE)の逆問題を解くためにますます使われている。 広く採用されているレシピが間違った分布をサンプリングしていることを示す。 我々は,コエリア後部を対象とする測度制約付きサンプルであるtextbfCoCoSを紹介した。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 31.082191748525137
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Generative models -- diffusion and flow matching -- are increasingly used to solve partial differential equation (PDE) inverse problems, enforcing the governing physics as a \emph{hard constraint} (via projection or guidance) and reporting the resulting samples as a Bayesian posterior with calibrated uncertainty. We show that this widely adopted recipe samples the wrong distribution. Conditioning a generative prior on a hard PDE constraint is conditioning on a measure-zero manifold -- an operation that is intrinsically ambiguous (the Borel--Kolmogorov paradox) and whose physically correct resolution, the small-residual-noise limit, carries a co-area (Fixman) Jacobian factor $[det(JJ^{\top})]^{-1/2}$ that projection- and guidance-based methods silently omit. We make the bias precise, show that it grows with the heterogeneity of the constraint sensitivity, and validate it on controlled problems against an \emph{i.i.d.} ground-truth arbiter. The omitted factor is not a second-order detail: removing it inflates the posterior error to $20\times$ the sampling-noise floor; minimal-displacement projection (as in PCFM) is biased at $9\times$ the floor; and a naive scalar reweighting does not fix it. We introduce \textbf{CoCoS}, a measure-aware constrained sampler that targets the correct co-area posterior, and show that it matches the gold-standard posterior to within sampling noise. Our results imply that ``satisfying the physics'' is not the same as ``sampling the posterior,'' and give a principled correction for uncertainty-aware scientific inference.
• Abstract（参考訳）: 拡散と流れのマッチングという生成モデルは、偏微分方程式(PDE)の逆問題を解き、支配物理学を(射影や誘導を通して)「emph{hard constraint}」として強制し、その結果のサンプルをキャリブレートされた不確実性のあるベイズ後部として報告するためにますます使われている。 広く採用されているレシピが間違った分布をサンプリングしていることを示す。 厳密な PDE 制約に生成前の条件を条件付けることは測度ゼロ多様体 -- 本質的に曖昧な(ボレル-コルモゴロフパラドックス)演算であり、物理的に正解である小さな残差雑音極限は、射影と誘導に基づく方法が無声で省略されるコ・エリア(フィクスマン)ヤコビアン因子 $[det(JJ^{\top})]^{-1/2}$ を持つ。 バイアスを正確にし、制約感度の不均一性とともに成長し、制御された問題に対して \emph{i.i.d.} グラウンド・トゥルース・アービターに対して検証する。 取り外しは後部誤差をサンプリングノイズフロアで20ドルに膨らませ、最小変位プロジェクション(PCFMの場合)は9ドルに偏り、スカラーリヘアリングはそれを修正しない。 我々は,正共面積後部を対象とする測度対応制約付きサンプリング器である \textbf{CoCoS} を導入し,金標準後部とサンプリングノイズ内との整合性を示す。 以上の結果から,「物理を満足させる」と「後部をサンプリングする」とは同じではないことが示唆され,不確実性を考慮した科学的推論の原理的補正が得られた。

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