論文の概要: Numerical Approximation of Partial Differential Equations by a Variable
Projection Method with Artificial Neural Networks
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2201.09989v1
- Date: Mon, 24 Jan 2022 22:31:38 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2022-01-26 16:50:49.790995
- Title: Numerical Approximation of Partial Differential Equations by a Variable
Projection Method with Artificial Neural Networks
- Title（参考訳）: ニューラルネットワークを用いた可変射影法による部分微分方程式の数値近似
- Authors: Suchuan Dong, Jielin Yang
- Abstract要約: 本稿では、可変投影(VarPro)フレームワークと人工ニューラルネットワーク(ANN)に基づく線形非線形PDEの解法を提案する。
線形PDEでは、コロケーション点上の境界値と初期値の問題を強制すると、ネットワーク係数に関する分離可能な非線形最小二乗問題が発生する。
本稿では, 線形出力層係数を除去するためにVarPro法によりこの問題を再検討し, 隠蔽層係数のみに関する問題を低減した。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We present a method for solving linear and nonlinear PDEs based on the
variable projection (VarPro) framework and artificial neural networks (ANN).
For linear PDEs, enforcing the boundary/initial value problem on the
collocation points leads to a separable nonlinear least squares problem about
the network coefficients. We reformulate this problem by the VarPro approach to
eliminate the linear output-layer coefficients, leading to a reduced problem
about the hidden-layer coefficients only. The reduced problem is solved first
by the nonlinear least squares method to determine the hidden-layer
coefficients, and then the output-layer coefficients are computed by the linear
least squares method. For nonlinear PDEs, enforcing the boundary/initial value
problem on the collocation points leads to a nonlinear least squares problem
that is not separable, which precludes the VarPro strategy for such problems.
To enable the VarPro approach for nonlinear PDEs, we first linearize the
problem with a Newton iteration, using a particular form of linearization. The
linearized system is solved by the VarPro framework together with ANNs. Upon
convergence of the Newton iteration, the network coefficients provide the
representation of the solution field to the original nonlinear problem. We
present ample numerical examples with linear and nonlinear PDEs to demonstrate
the performance of the method herein. For smooth field solutions, the errors of
the current method decrease exponentially as the number of collocation points
or the number of output-layer coefficients increases. We compare the current
method with the ELM method from a previous work. Under identical conditions and
network configurations, the current method exhibits an accuracy significantly
superior to the ELM method.
- Abstract（参考訳）: 本稿では,可変プロジェクション(VarPro)フレームワークと人工ニューラルネットワーク(ANN)に基づく線形非線形PDEの解法を提案する。
線形pdesでは、コロケーション点の境界/初期値問題を実行すると、ネットワーク係数に関する分離可能な非線形最小二乗問題が発生する。
本稿では,この問題をvarpro法を用いて再検討し,線形出力層係数を除去し,隠れ層係数のみの問題に導く。
減算問題を非線形最小二乗法によりまず解いて隠蔽層係数を決定し、次いで線形最小二乗法により出力層係数を算出する。
非線形 PDE に対して、コロケーション点上の境界/初期値問題を強制すると、分離不能な非線形最小二乗問題が発生し、そのような問題に対する VarPro の戦略が妨げられる。
非線形PDEに対するVarProアプローチを実現するために、我々はまず特定の形式の線形化を用いてニュートン反復を用いて問題を線形化する。
線形化システムは、ANNとともにVarProフレームワークによって解決される。
ニュートン反復が収束すると、ネットワーク係数は元の非線形問題に対する解場の表現を提供する。
本稿では,線形および非線形PDEを用いた数値例を多数提示し,本手法の性能を示す。
滑らかな場解では、コロケーション点数や出力層係数が増加するにつれて、電流法の誤差が指数関数的に減少する。
本手法とEMM法との比較を行った。
同一条件およびネットワーク構成下では、現在の手法はEMM法よりも精度が優れている。
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