論文の概要: Real vs. Complex Spectral Bases for Neural Operators: The Role of Green's Function Alignment

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2606.24851v1
• Date: Tue, 23 Jun 2026 17:29:15 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-06-24 22:16:49.133351
• Title: Real vs. Complex Spectral Bases for Neural Operators: The Role of Green's Function Alignment
• Title（参考訳）: ニューラル演算子のための実対複素スペクトル基底:グリーン関数アライメントの役割
• Authors: Jason Sulskis, Sathya Ravi,
• Abstract要約: 我々は、FNOの正確な実数値ミラーであるハートレーニューラル演算子(HNO)を紹介する。 実ハートレースペクトルは共役対称性によって半減されないので、HNOはFNOの2倍の周波数角を保持する。 演算子相含量の単調な楕円-逆時間依存分割を求める。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.037435491622876
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Fourier Neural Operators (FNO) learn solution operators of partial differential equations by parameterizing global convolutions in the complex Fourier domain. For real-valued PDE solutions, the complex FFT carries representational redundancy through conjugate symmetry. We introduce the Hartley Neural Operator (HNO), the exact real-valued mirror of FNO: it replaces the FFT with the purely real Discrete Hartley Transform and learns a single real multiplier per retained spectral mode, with no complex arithmetic. Because the real Hartley spectrum is not halved by conjugate symmetry, HNO retains twice as many frequency corners as FNO but one real weight where FNO carries a complex pair, so the two operators are iso-parametric at equal width and differ only in spectral basis. Our central thesis is that the best basis is a property of the operator. Self-adjoint elliptic operators (Poisson, biharmonic) have real, symmetric Green's functions that the real Hartley multiplier diagonalizes exactly, and HNO is favored there. Time-dependent operators carry phase, from oscillation in the wave equation to transport in advection, Burgers, and Navier-Stokes, which a real diagonal multiplier cannot represent, so FNO is favored there, and increasingly so with the operator's phase content, leaving the phaseless heat equation as the borderline case. Training both operators identically and benchmarking across PDE classes, initial-condition families, and boundary conditions, we find an elliptic-versus-time-dependent split that is monotone in operator phase content and matches the Green's-function theory we develop. Rather than a universal winner, our findings give a predictive rule: match the spectral basis to the symmetry of the solution operator.
• Abstract（参考訳）: フーリエニューラル作用素 (FNO) は複素フーリエ領域における大域的畳み込みをパラメータ化することで偏微分方程式の解作用素を学習する。 実数値PDE解に対しては、複素 FFT は共役対称性を通じて表現的冗長性を持つ。 我々は、FNOの正確な実数値ミラーであるHartley Neural Operator (HNO)を導入し、FFTを純粋に実写のHartley Transformに置き換え、複素算術のないスペクトルモードで1つの実乗算器を学習する。 実ハートレースペクトルは共役対称性によって半分にならないため、HNO は FNO の2倍の周波数角を持つが、FNO が複素対を持つ1つの実重みを持つため、2つの作用素は等幅でアイソパラメトリックであり、スペクトル基底でのみ異なる。 我々の中心論は、最良の基礎は作用素の性質であるということである。 自己随伴楕円作用素 (Poisson, biharmonic) は、実ハートレー乗法が正確に対角化し、そこで HNO が好まれる実対称グリーン函数を持つ。 時間依存作用素は、波動方程式の振動から対流、バーガース、ナビエストークスの輸送まで位相を持ち、実際の対角乗算器では表現できないので、FNOはそこで好まれる。 演算子をPDEクラス、初期条件ファミリ、境界条件で同一かつベンチマークし、演算子相含量に単調な楕円-逆時間依存分割を発見し、開発するグリーン関数理論と一致する。 普遍的な勝者というよりは、我々の発見は予測的な規則を与える: スペクトル基底と解作用素の対称性とを一致させる。

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