論文の概要: Operator Learning for Cubic Nonlinear Schrödinger Equation on Periodic Domains

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2606.27459v1
• Date: Thu, 25 Jun 2026 18:33:53 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-06-29 18:24:25.287467
• Title: Operator Learning for Cubic Nonlinear Schrödinger Equation on Periodic Domains
• Title（参考訳）: 周期領域上の立方体非線形シュレーディンガー方程式の演算子学習
• Abstract要約: アスペクト比の異なる2次元平面トーラス上の3次非線形シュルディンガー(NLS)方程式を考察する。 本研究では,NLS方程式に対する幾何条件のフーリエニューラル演算子(FNO)を提案する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We consider the cubic nonlinear Schrödinger (NLS) equation on two-dimensional flat tori with varying aspect ratios. In this formulation, the choice of aspect ratio governs the Fourier resonance structure, so rational and irrational geometries can exhibit different high-frequency cascade behaviors. We present a geometry-conditioned Fourier neural operator (FNO) for the cubic defocusing NLS equation, where the input consists of the real and imaginary parts of the solution together with the aspect-ratio parameter \(ω^2\). The model is trained to approximate the one-step solution operator and is evaluated on unseen trajectories generated from random-phase initial data using Fourier pseudospectral method. Our numerical experiments show that the learned operator captures the main solution dynamics on both tori and reproduces the distinct Sobolev norm behavior of the two geometries, with stronger \(H^2\)-growth on the rational torus and more constrained behavior on the irrational torus, consistent with the findings of \cite{hrabski2021energy}. We perform ablation studies to examine the roles of retained Fourier modes, activation functions, Fourier-layer depth, and explicit geometry conditioning. The results indicate that including $ω^2$ improves long-time predictive accuracy, especially for the rational geometry, and supports the use of geometry-aware neural operators for learning spectral-transfer phenomena in nonlinear dispersive partial differential equations.
• Abstract（参考訳）: アスペクト比の異なる2次元平面トーラス上の3次非線形シュレーディンガー(NLS)方程式を考察する。 この定式化において、アスペクト比の選択はフーリエ共鳴構造を支配するので、合理的かつ不合理なジオメトリーは異なる高周波カスケード挙動を示すことができる。 本研究では, 3次除算NLS方程式に対する幾何条件のフーリエニューラル作用素(FNO)を提案する。 このモデルは1ステップの解演算子を近似するように訓練され、フーリエ擬スペクトル法を用いてランダム位相初期データから生成した未知の軌道上で評価される。 我々の数値実験は、学習作用素が両トーラス上の主解力学を捕捉し、2つの測地のソボレフノルムの挙動を再現し、有理トーラス上でのより強い \(H^2\)-成長と不合理トーラス上でのより制約された挙動を、 \cite{hrabski2021energy} の発見と一致させることを示した。 我々は,保持されたフーリエモード,アクティベーション関数,フーリエ層深さ,明示的な幾何条件などの役割について,アブレーション研究を行った。 その結果、ω^2$を含むと、特に有理幾何学における長期予測精度が向上し、非線形分散偏微分方程式におけるスペクトル移動現象の学習に幾何認識ニューラル演算子の使用が支援された。

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