論文の概要: A Physics-Informed Neural Network with a Modified Lorentzian Activation for Nonlocal Gradient-Flow Equations in Dynamic Density Functional Theory

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2607.15291v1
• Date: Wed, 24 Jun 2026 22:01:13 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-07-27 00:46:13.02201
• Title: A Physics-Informed Neural Network with a Modified Lorentzian Activation for Nonlocal Gradient-Flow Equations in Dynamic Density Functional Theory
• Title（参考訳）: 動的密度汎関数論における非局所勾配流方程式に対する修飾ローレンツ活性化を用いた物理インフォームニューラルネットワーク
• Abstract要約: 非局所偏微分方程式のための物理インフォームドニューラルネットワーク(PINN)フレームワークを開発した。 これらの方程式は非線形性、非局所相互作用項、基礎となる勾配-流れ構造を含む。 我々は、PINN法をDDFT勾配流方程式に適用し、2つの計算成分を導入する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.8602553195689513
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: We develop a physics-informed neural network (PINN) framework for nonlocal partial differential equations arising in dynamic density functional theory (DDFT). Such equations are challenging for standard PINN methods because they involve nonlinearities, nonlocal interaction terms, and an underlying gradient-flow structure, often leading to slow convergence and difficult optimization. We adapt the PINN methodology to DDFT gradient-flow equations and introduce two computational components: a modified Lorentzian activation function that behaves approximately linearly for small inputs and decays toward zero as the input magnitude increases, and a precomputed discrete operator for evaluating the nonlocal convolution term efficiently during training. The method is tested on four examples in one and two space dimensions. In the first example, the exact stationary solution is known, while in the remaining cases the neural-network approximations are validated against reference solutions computed using continuous and discontinuous Galerkin finite element discretizations. Accuracy and physical consistency are assessed through $L^1$, $L^2$, and $L^\infty$ errors, together with mass conservation and free-energy dissipation. The results show that the proposed activation function accelerates convergence relative to the standard $\tanh$ function, while the overall framework maintains good agreement with the reference solutions and captures the expected gradient-flow behaviour. These findings demonstrate the potential of the proposed PINN framework for solving nonlocal gradient-flow equations arising in DDFT.
• Abstract（参考訳）: 本研究では、動的密度汎関数理論(DDFT)に基づく非局所偏微分方程式のための物理インフォームドニューラルネットワーク(PINN)フレームワークを開発する。 このような方程式は、非線形性、非局所相互作用項、基礎となる勾配-流れ構造を含むため、標準のPINN法では困難であり、しばしば収束が遅く、最適化が難しい。 我々は、PINN法をDDFT勾配流方程式に適応させ、入力サイズが大きくなるにつれて、小さな入力に対してほぼ線形に振る舞う修飾ローレンツ活性化関数と、訓練中に非局所的畳み込み項を効率的に評価するための事前計算された離散演算子の2つの計算成分を導入する。 この方法は1次元と2次元の4つの例で検証される。 最初の例では、正確な定常解が知られ、残りの例では、連続かつ不連続なガレルキン有限要素の離散化を用いて計算された参照解に対して、ニューラルネットワーク近似が検証される。 L^1$、$L^2$、および$L^\infty$エラーによって、質量保存と自由エネルギー散逸とともに精度と物理的整合性を評価する。 提案したアクティベーション関数は標準の$\tanh$関数に対して収束を加速する一方、全体的なフレームワークは参照解との良好な一致を維持し、期待される勾配-フローの挙動を捉える。 これらの結果は,DDFTにおける非局所勾配流方程式の解法として提案したPINNフレームワークの可能性を示している。

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