論文の概要: Boundary-layer asymptotics for Gaussian-smoothed singular measures

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2607.04514v1
• Date: Sun, 05 Jul 2026 21:28:29 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-07-07 22:26:29.964433
• Title: Boundary-layer asymptotics for Gaussian-smoothed singular measures
• Title（参考訳）: ガウス平滑な特異測度に対する境界層漸近
• Authors: Nicolas Brosse, Arnak S. Dalalyan,
• Abstract要約: 角を持つ多様体上で支持される確率測度のユークリッド熱正則化の小型ノイズ層について検討する。 我々は、スコア、対数ヘシアン、スコアのスケール微分について対数と一様展開を導出する。 これらの公式は、小雑音ガウス正規化の特異微分構造において、低次元の支持、境界面、角、曲率がどのように符号化されているかを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 3.903171992644253
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We study the small-noise asymptotics of Euclidean heat regularizations of probability measures supported on manifolds with corners. Near a boundary or corner stratum, the relevant regime is a conical boundary layer in which the observation point approaches the stratum at the same scale as the Gaussian smoothing parameter. After rescaling this layer, the support is replaced to leading order by its inward tangent cone. We prove a two-term expansion for the heat-regularized density in this regime. The leading coefficient is the Gaussian mass of the linearized cone, weighted by the density on the support and by the adapted corner Jacobian; the first correction records the variation of the density, the Jacobian, and the quadratic geometry of the embedding. A localization argument then yields the corresponding expansion for the full heat regularization, with the nonlocal contribution exponentially small. From this density expansion we derive logarithmic asymptotics and uniform expansions for the score, the log-Hessian, and the scale derivative of the score. These formulas show how lower-dimensional support, boundary faces, corners, and curvature are encoded in the singular differential structure of small-noise Gaussian regularizations.
• Abstract（参考訳）: 角を持つ多様体上で支持される確率測度のユークリッド熱正則化の小型ノイズ漸近について検討する。 境界層や角層の近くでは、関連する状態は円錐状の境界層であり、観測点がガウス平滑化パラメータと同じスケールで成層に近づく。 この層を再スケーリングした後、サポートは内側の接尾辞円錐によって先頭の順に置き換わる。 この状態における熱規則化密度の2つの長期的拡張を証明した。 主係数は線型化された円錐のガウス質量であり、支持体上の密度と適応隅ヤコビアンによって重み付けされ、最初の補正は密度、ヤコビアン、および埋め込みの二次幾何学の変動を記録する。 局所化の議論は、非局所的な寄与が指数関数的に小さい全熱正則化に対する対応する拡張をもたらす。 この密度展開から、スコア、対数ヘシアン、スコアのスケール微分に対する対数漸近と一様展開を導出する。 これらの公式は、小雑音ガウス正規化の特異微分構造において、低次元の支持、境界面、角、曲率がどのように符号化されているかを示す。

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