論文の概要: Wigner symmetries single out symmetric Wasserstein distances in all finite dimensions
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2607.08298v1
- Date: Thu, 09 Jul 2026 09:41:00 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-07-10 14:45:27.493822
- Title: Wigner symmetries single out symmetric Wasserstein distances in all finite dimensions
- Title（参考訳）: すべての有限次元における対称ワッサーシュタイン距離をシングルアウトするウィグナー対称性
- Abstract要約: 自己随伴可観測体の族によって生成される二次コスト作用素に付随するワッサーシュタイン距離について検討する。
観測可能量とヒルベルト・シュミットフレーム型作用素によって生成される二次コスト作用素間の明示的な相互逆写像を構築する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 2.0305676256390934
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We study the quantum Wasserstein distances introduced by De Palma and Trevisan associated with quadratic cost operators generated by families of self-adjoint observables. We first show that an arbitrary positive semidefinite cost operator is completely determined by the restriction of the corresponding Wasserstein distance to pairs of pure states. This allows geometric invariance of the pure-state distance to be translated directly into invariance of the cost operator. Within the class of nonzero quadratic costs generated by at most $d^2-1$ observables on a $d$-dimensional Hilbert space, we prove that the Wasserstein isometry monoid consists exactly of the Wigner symmetries, that is, unitary and antiunitary conjugations, if and only if the distance is invariant under unitary conjugations on pure states. Equivalently, the cost operator intertwines the adjoint representation of the unitary group and is a positive scalar multiple of the identity on the traceless subspace. We further construct explicit mutually inverse maps between quadratic cost operators generated by observables and Hilbert--Schmidt frame-type operators formed from their traceless parts. Under this correspondence, isotropy of the cost is equivalent to the tight frame property of the associated Hilbert--Schmidt operator. Consequently, a nonzero isotropic cost requires at least $d^2-1$ self-adjoint generators, and equality holds precisely when their traceless parts form, up to a common scale, a Hilbert--Schmidt orthonormal basis. Thus the geometric, representation-theoretic, operator-theoretic, and frame-theoretic notions of symmetry all determine the same one-parameter family of quantum Wasserstein distances.
- Abstract（参考訳）: De Palma と Trevisan が導入した量子ワッサーシュタイン距離を、自己随伴可観測体の族によって生成される二次コスト作用素に関連付ける。
まず、任意の正の半定値コスト作用素が、対応するワッサーシュタイン距離を純状態の対に制限することによって完全に決定されることを示す。
これにより、純状態距離の幾何学的不変性は、コスト演算子の不変性に直接変換される。
ヒルベルト空間上の少なくとも$d^2-1$観測可能量によって生じるゼロでない二次コストのクラスの中で、ワッサーシュタイン等距離モノイドは、純粋状態上のユニタリ共役の下で距離が不変である場合に限り、ウィグナー対称性、すなわちユニタリ共役と反ユニタリ共役からなることを証明する。
同様に、コスト作用素はユニタリ群の随伴表現と交わり、トレースレス部分空間上のアイデンティティの正のスカラー倍である。
さらに、観測可能量によって生成される二次コスト作用素と、そのトレースレス部分から形成されるヒルベルト・シュミットフレーム型作用素の間の明示的な相互逆写像を構築する。
この対応の下で、コストの等方性は、関連するヒルベルト-シュミット作用素の強フレーム特性と等価である。
したがって、非ゼロ等方的コストは少なくとも$d^2-1$自己共役生成器を必要とし、そのトレースレス部分が共通のスケールまで、ヒルベルト=シュミット正則基底となると、その等式は正確に保たれる。
したがって、幾何学的、表現論的、作用素論的、および対称性のフレーム理論的概念はすべて、量子ワッサーシュタイン距離の同じ1パラメータ族を決定する。
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