論文の概要: A complete ultrametric on von Neumann's incomplete tensor products

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2607.09627v1
• Date: Fri, 10 Jul 2026 17:25:32 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-07-13 14:47:12.912622
• Title: A complete ultrametric on von Neumann's incomplete tensor products
• Title（参考訳）: フォン・ノイマンの不完全テンソル積に関する完備超測度
• Authors: Andrew Lesniewski,
• Abstract要約: ヒルベルト空間の無限テンソル積に関するフォン・ノイマンの理論を再考する。 2つのクラス間の距離は級数 $sum_j|langlevarphi_j,_jrangle-1|$ の収束指数である。 d$ は同値類でよく定義され、強い三角形の不等式を満たすことを示し、完備である。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: We revisit von Neumann's theory of infinite tensor products of Hilbert spaces. On the set $Γ$ of equivalence classes of $C_0$-sequences, which labels the incomplete tensor products inside the complete tensor product, we introduce a natural pseudo-ultrametric $d$: the distance between two classes is the convergence exponent of the series $\sum_j|\langle\varphi_j,ψ_j\rangle-1|$ formed from any pair of representatives. We show that $d$ is well defined on equivalence classes, satisfies the strong triangle inequality, and is complete. Distinct classes may lie at distance zero, so $d$ separates points only after passing to the quotient $\widetildeΓ$ of $Γ$ by the relation $d=0$; the pair $(\widetildeΓ,d)$ is then a complete ultrametric space. As an application, we show that a product unitary $\bigotimes_j U$ whose factor $U$ satisfies $\inf_{\|x\|=1}|\langle x,Ux\rangle-1|>0$ (in particular, a unitary on a finite dimensional space with $1\notinσ(U)$) displaces every class to the maximal distance $1$. Guided by the intended application -- a caricature of Everettian branching, in which the sectors of the infinite tensor product play the role of worlds -- we also develop a gauge-invariant variant $\tilde d$ of the metric, based on von Neumann's weak equivalence and matched to the quasi-equivalence of product states on the quasi-local algebra. The displacement of a class under a product unitary, measured by $\tilde d$, is class dependent and realizes every value in $[0,1]$. We interpret $\tilde d$ as a decoherence exponent: it measures the polynomial rate at which two branches of the universal state vector become operationally distinct as ever larger portions of the environment are monitored.
• Abstract（参考訳）: ヒルベルト空間の無限テンソル積に関するフォン・ノイマンの理論を再考する。 完備テンソル積内の不完全テンソル積をラベル付けする$C_0$-列の同値類の集合 $$$ 上で、自然な擬ウルトラメトリック $d$ を導入する: 2つのクラスの間の距離は級数 $\sum_j|\langle\varphi_j,\_j\rangle-1|$ の収束指数である。 d$ は同値類でよく定義され、強い三角形の不等式を満たすことを示し、完備である。 特異類は距離 0 で成り立つので、$d$ は商 $\widetilde\$ を$d=0$ で渡した後のみ点を分離する。 応用として、積ユニタリ$\bigotimes_j U$とその因子$U$が$\inf_{\|x\|=1}|\langle x,Ux\rangle-1|>0$(特に1\notinσ(U)$)の有限次元空間上のユニタリは、すべてのクラスを最大距離1ドルに置き換えることを示す。 意図された応用(無限テンソル積のセクターが世界の役割を果たすエベレット分岐の図式)によって導かれ、フォン・ノイマンの弱同値性に基づいて計量のゲージ不変変数 $\tilde d$ を開発し、準局所代数上の積状態の準同値に一致する。 積ユニタリの下でのクラスの変位は$\tilde d$によって測定され、クラス依存であり、すべての値が$[0,1]$である。 我々は$\tilde d$をデコヒーレンス指数(decoherence exponent)と解釈し、普遍状態ベクトルの2つの分岐が動作的に異なる多項式速度を測定する。

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