論文の概要: Neural Discovery of Memory and Nonlocal Kernels in Integro-Differential Equations with Constrained Kolmogorov--Arnold Networks

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2607.11110v1
• Date: Mon, 13 Jul 2026 05:40:37 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-07-14 17:47:21.339631
• Title: Neural Discovery of Memory and Nonlocal Kernels in Integro-Differential Equations with Constrained Kolmogorov--Arnold Networks
• Title（参考訳）: Constrained Kolmogorov-Arnold Networksを用いた積分微分方程式におけるメモリと非局所カーネルのニューラル発見
• Abstract要約: 既存の識別方法は、しばしば問題固有の分析的導出、特別な観察要件、またはカーネルに関する制限的な仮定に依存している。 本稿では,時間的観測からメモリと非ローカルカーネルを直接検出する,微分可能な解法に基づくフレームワークを提案する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Discovering the memory or nonlocal kernel governing an integro-differential equation (IDE) from sparse and noisy observations is an ill-posed inverse problem. Existing identification methods often rely on problem-specific analytical derivations, specialized observation requirements, or restrictive assumptions about the kernel, limiting their applicability across different classes of IDEs. In this work, we propose a differentiable-solver-based framework for discovering memory and nonlocal kernels directly from spatiotemporal observations. Within the solver, the unknown kernel is represented using a constrained Kolmogorov--Arnold Network (KAN) parameterization, with the physical constraints imposed through two different approaches: a Bernstein-polynomial-based Monotone--Convex KAN (MC-KAN), whose coefficient constraints enforce positivity, monotonic decrease, and convexity by construction, and a Chebyshev-based KAN (Cheb-KAN), in which the same properties are encouraged through soft penalty terms. After training, symbolic regression is applied to the learned kernels to obtain interpretable closed-form representations. We evaluate both methods on benchmarks spanning a one-dimensional Volterra equation, a one-dimensional viscoelastic wave partial integro-differential equation, and a two-dimensional nonlocal reaction-diffusion equation with an anisotropic coupled kernel. For the 1D problems, both methods recover the correct kernel functional form and achieve comparable solution-reconstruction accuracy. In contrast, for the sparse and noisy 2D nonlocal problem, the hard-constrained MC-KAN consistently achieves lower kernel reconstruction errors than the soft-constrained Cheb-KAN. Our results demonstrate that enforcing physically motivated shape constraints by construction provides greater robustness than soft penalties for multidimensional kernel discovery from sparse and noisy observations.
• Abstract（参考訳）: 積分微分方程式(IDE)をスパースおよびノイズ観測から支配するメモリまたは非ローカルカーネルの発見は、不適切な逆問題である。 既存の識別方法は、しばしば問題固有の分析的導出、特別な観察要件、カーネルに関する制限的な仮定に頼り、異なるIDEクラスにまたがる適用性を制限する。 本研究では,時空間観測から直接メモリと非ローカルカーネルを発見できる,微分可能な解法ベースのフレームワークを提案する。 この解法では、未知のカーネルは制約付きコルモゴロフ-アルノルドネットワーク(KAN)パラメータ化を用いて表現され、Bernstein-polynomial-based Monotone--Convex Kan (MC-KAN) という2つの異なるアプローチによって課せられる物理的制約は、係数の制約によって正の正性、単調減少、凸性を強制するKan (Cheb-KAN) と、同じ性質がソフトペナルティ項によって奨励されるCan (Cheb-KAN) である。 トレーニング後、学習したカーネルにシンボリック回帰を適用して、解釈可能なクローズドフォーム表現を得る。 本研究では,1次元ボルテラ方程式,1次元粘弾性波部分微分方程式,および異方性結合核を持つ2次元非局所反応拡散方程式のベンチマーク評価を行った。 1D問題に対して、どちらの手法も正しいカーネル関数形式を復元し、同等の解再構成精度を達成する。 対照的に、スパースでノイズの多い2次元非局所問題では、ハードコントラストMC-KANはソフトコントラストCheb-KANよりも低いカーネル再構成誤差を一貫して達成している。 この結果から,構成による物理的に動機付けられた形状制約の強制は,スパース・ノイズ観測による多次元カーネル発見において,ソフトペナルティよりもロバスト性が高いことが示された。

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