論文の概要: A Structure-Adaptive Random Feature Method for High-Dimensional Elliptic PDEs
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2607.19786v1
- Date: Wed, 22 Jul 2026 06:10:49 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-07-23 18:51:37.988741
- Title: A Structure-Adaptive Random Feature Method for High-Dimensional Elliptic PDEs
- Title（参考訳）: 高次元楕円PDEのための構造適応型ランダム特徴法
- Abstract要約: 階層型分散ランダム特徴法(HA-RFM)を導入する。
HA-RFMは入射予測勾配から斜めの低ランク特徴を識別し、カップルは1つの正則化された最小二乗解におけるすべての特徴を保持する。
ランダムリッジ試験では、追加の幅が1%未満で、座標ブロックよりも14$-39$、同じ幅のフル次元RAMより34$-100$の誤差が減少する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 8.640731976305544
- License: http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/
- Abstract: Random-feature methods reduce high-dimensional elliptic PDE collocation to linear coefficient problems, but full-dimensional trial spaces overlook lower-dimensional structure. We introduce the Hierarchical Analysis-of-Variance Random Feature Method (HA-RFM), which selects coordinate blocks using closed Sobol indices of the PDE residual, identifies oblique low-rank features from fitted-predictor gradients, and couples all retained features in one regularized least-squares solve. Under structural and stability hypotheses, we establish an $L^2$ error bound that links solution and residual truncation to finite-width approximation and regularized finite-sample fitting, and we derive guarantees for width and structure recovery. The resulting width is polynomial in the dimension at fixed interaction order, with dimension-independent higher-order contributions under uniform structural control. Residual screening achieves exact recovery of the prescribed three-pair support, while fitted-predictor gradients recover oblique directions through dimension $50$. In random-ridge tests, less than $1\%$ additional width reduces errors by factors of $14$-$39$ over coordinate blocks and $34$-$100$ over equal-width full-dimensional RFM. Semilinear computations extend HA-RFM through dimension $100$, while dense and distributed interactions delineate the coordinate families required for broader structure.
- Abstract（参考訳）: ランダム関数法は高次元楕円型PDEコロケーションを線形係数問題に還元するが、実次元実験空間は低次元構造を見越す。
本稿では,PDE残差の閉ソボ指標を用いて座標ブロックを選択する階層的解析・分散乱数特徴法(HA-RFM)を導入し,不規則化最小二乗法において,斜めの低ランク特徴を近似勾配から同定する。
構造的および安定性的な仮説の下では、解と残トランケーションを有限幅近似と正則化有限サンプルフィッティングにリンクする$L^2$誤差境界を確立し、幅と構造回復の保証を導出する。
結果として得られる幅は、一様構造制御の下での次元非依存な高次寄与を伴う、固定相互作用順序の次元の多項式である。
残留遮蔽は所定の3対支持の正確な回復を達成し, 適応予測器勾配は50ドルで斜め方向を回復する。
ランダムリッジ試験では、追加の幅が1\%未満で、座標ブロックよりも14$-39$、同じ幅のフル次元RAMより34$-100$の誤差が減少する。
半線形計算はHA-RFMを100ドルまで拡張し、密度と分散相互作用はより広い構造に必要な座標族を導出する。
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